जादूगर से पूछो #247

मुझे लगता है कि एक अच्छे और शिक्षित अनुमान के साथ संभावनाएँ इससे कहीं बेहतर हैं। किसी भी NFL खेल का सटीक परिणाम जानने के लिए मेरी यह बुनियादी रणनीति है।

1. कुल और स्प्रेड का उपयोग करके, प्रत्येक टीम के कुल अंकों का अनुमान लगाएँ। उदाहरण के लिए, यदि हम सुपर बाउल के लिए कुल 57 और स्प्रेड -5 का उपयोग करते हैं, जिसमें c=कोल्ट्स अंक और s=सेंट्स अंक मान लिया गया है, तो...
   
   (1) सी+एस=57
   (2) सी-5=एस
   समीकरण (1) में समीकरण (2) प्रतिस्थापित करने पर:
   सी+(सी-5)=57
   2सी-5=57
   2सी=62
   सी=31
   एस=31-5=26
   
   यहाँ रुकने की समस्या यह है कि कभी-कभी आपको ऐसे मान मिलते हैं जो किसी एक टीम द्वारा बनाए जाने की संभावना नहीं होती। उदाहरण के लिए, किसी एक टीम के 24 अंक होने की संभावना 6.5% है, लेकिन 25 अंक होने की संभावना केवल 0.9% है। नीचे दी गई तालिका 2000-2009 सीज़न के आधार पर, किसी एक टीम के कुल अंकों की संभावना दर्शाती है। इसलिए हम फ़ील्ड गोल और टचडाउन के वास्तविक संयोजनों के आधार पर प्रत्येक टीम के कुल अंकों का अनुमान लगा रहे हैं।
   
   
2. मान लीजिए कि पसंदीदा खिलाड़ी ने 2 फील्ड गोल किए।
3. मान लीजिए कि अंडरडॉग ने 1 फील्ड गोल मारा।
4. प्रत्येक से फ़ील्ड गोल पॉइंट घटाएँ। सुपर बाउल के उदाहरण में, इससे कोल्ट्स = 25 टचडाउन पॉइंट, सेंट्स = 23 टचडाउन पॉइंट बचेंगे।
5. अनुमानित टचडाउन प्राप्त करने के लिए टचडाउन पॉइंट्स को 7 से विभाजित करें। c=3.57 TD, s=3.29 TD
6. अनुमानित टचडाउन को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें। c=4, s=3.
7. इस विधि का पालन करने पर, हमें कुल अंक c=(4×7)+(2×3)=34, s=(3×7)+(1×3)=24 प्राप्त होते हैं।

1983 से 2009 सीज़न तक के सभी 6,707 खेलों में इस पद्धति का उपयोग करने पर 69 सही चयन होते, और सफलता दर 1.03% होती। पिछली बार यह सही चयन 2009 के 13वें हफ़्ते में टाइटन्स/कोल्ट्स के खेल में हुआ था। उस खेल में कोल्ट्स -6.5 का स्प्रेड था, और कुल 46 थे। स्कोर था टाइटन्स 17, कोल्ट्स 27।

एक आलोचक का मानना था कि दोनों टीमों के लिए निकटतम महत्वपूर्ण एक-टीम योग चुनना एक बेहतर और सरल रणनीति होगी। इस पद्धति का उपयोग करने से केवल 51 जीतें मिलीं, और जीत दर 0.76% रही। मेरे विचार से, मज़बूत और कमज़ोर टीमों के बीच फ़ील्ड गोल 2 और 1 बाँटना महत्वपूर्ण है।

एनएफएल2000-2009 सीज़न में एकल-टीम का कुल योग

एक-टीम का कुल योग	नमूने में कुल	संभावना
0	93	1.75%
1	0	0.00%
2	0	0.00%
3	148	2.79%
4	0	0.00%
5	2	0.04%
6	114	2.15%
7	210	3.96%
8	9	0.17%
9	76	1.43%
10	316	5.96%
11	9	0.17%
12	49	0.92%
13	289	5.45%
14	238	4.49%
15	55	1.04%
16	170	3.21%
17	373	7.03%
18	33	0.62%
19	92	1.73%
20	368	6.94%
21	234	4.41%
22	64	1.21%
23	218	4.11%
24	347	6.54%
25	47	0.89%
26	103	1.94%
27	282	5.32%
28	159	3.00%
29	52	0.98%
30	127	2.39%
31	242	4.56%
32	23	0.43%
33	57	1.07%
34	164	3.09%
35	76	1.43%
36	27	0.51%
37	68	1.28%
38	108	2.04%
39	11	0.21%
40	21	0.40%
41	62	1.17%
42	31	0.58%
43	6	0.11%
44	24	0.45%
45	33	0.62%
46	1	0.02%
47	7	0.13%
48	28	0.53%
49	15	0.28%
50	1	0.02%
51	5	0.09%
52	7	0.13%
53	0	0.00%
54	2	0.04%
55	1	0.02%
56	4	0.08%
57	1	0.02%
58	1	0.02%
59	1	0.02%
कुल	5304	100.00%

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

7.7%.

इस प्रकार के प्रश्नों के लिए काई-स्क्वेयर परीक्षण सर्वथा उपयुक्त है। इस परीक्षण के लिए, प्रत्येक श्रेणी के लिए (ae) ² /e मान लें, जहाँ a वास्तविक परिणाम है और e अपेक्षित परिणाम है। उदाहरण के लिए, 244 बार फेंकने पर 2 आने की अपेक्षित संख्या 244×(1/36) = 6.777778 है। यदि आपको समझ नहीं आ रहा है कि 2 आने की प्रायिकता 1/36 क्यों है, तो कृपया पासा प्रायिकता मूल बातें पर मेरा पृष्ठ पढ़ें। कुल 2 के लिए काई-स्क्वेयर मान के लिए, a=6 और e=6.777778, इसलिए (ae) ² /e = (6-6.777778) ² /6.777778 = 0.089253802।

काई-स्क्वेयर्ड परिणाम

पासा कुल	टिप्पणियों	अपेक्षित	ची-चुकता
2	6	6.777778	0.089253
3	12	13.555556	0.178506
4	14	20.333333	1.972678
5	18	27.111111	3.061931
6	23	33.888889	3.498725
7	50	40.666667	2.142077
8	36	33.888889	0.131512
9	37	27.111111	3.607013
10	27	20.333333	2.185792
11	14	13.555556	0.014572
12	7	6.777778	0.007286
कुल	244	244	16.889344

फिर काई-स्क्वेयर्ड कॉलम का योगफल लें। इस उदाहरण में, योगफल 16.889344 है। इसे काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी कहते हैं। "स्वतंत्रता की कोटि" की संख्या, आँकड़ों में श्रेणियों की संख्या से एक कम है, इस स्थिति में 11-1=10। अंत में, या तो किसी सांख्यिकी तालिका में 10.52 और 10 स्वतंत्रता की कोटि वाला काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी देखें, या एक्सेल में सूत्र =chidist(16.889344,10) का उपयोग करें। दोनों में से कोई भी आपको 7.7% परिणाम देगा। इसका अर्थ है कि निष्पक्ष पासे द्वारा इतने विषम या उससे अधिक परिणाम देने की संभावना 7.7% है। सार यह है कि हालाँकि ये परिणाम अपेक्षा से अधिक विषम हैं, लेकिन इतने विषम नहीं हैं कि कोई आश्चर्य करे। यदि आप इस परीक्षण को जारी रखते हैं, तो मेरा सुझाव है कि योगफल के बजाय प्रत्येक पासे का अलग-अलग परिणाम एकत्र करें। यह भी ध्यान रखना चाहिए कि यदि किसी श्रेणी के परिणामों की अपेक्षित संख्या कम है, तो काई-स्क्वेयर परीक्षण उपयुक्त नहीं है। न्यूनतम अपेक्षित संख्या 5 है, जिसके बारे में आमतौर पर चर्चा होती रहती है।

पाई गो में 16 जोड़ी टाइलें होती हैं। 16 में से 2 जोड़ी चुनने के लिए संयोजन (16,2) = 120 तरीके हैं। एक बार दो जोड़ी चुन लेने के बाद, विशिष्ट टाइलें चुनने का केवल एक ही तरीका होता है। 32 में से चार टाइलें चुनने के लिए संयोजन (32,4) = 35,960 तरीके हैं। इसलिए दो जोड़ी की संभावना 120/35960 = 0.33%, या 300 में 1 है।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा, लेकिन एक जोड़ी की संभावना 16×combin(15,2)×2 ² /combin(32,4)=18.69% है।

चित्र मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास से लिए गए हैं।

छह डेक के आधार पर, मुझे 3.40% का हाउस एज मिलता है। मैं अपना सारा गणित अपने ब्लैकजैक परिशिष्ट 8 में दिखाता हूँ। बहुत ज़्यादा या कम गिनती यह दर्शाएगी कि बाकी पत्तों की रैंक एक साथ इकट्ठी हो गई है, जिससे हाउस एज कम हो जाएगा, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह इतना ज़्यादा होगा कि इस पर ध्यान दिया जाए।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।