जादूगर से पूछो #220

बैकगैमौन मेरे पसंदीदा जुए के खेलों में से एक है। मैं इसके बारे में इसलिए नहीं लिखता क्योंकि खिलाड़ी बनाम खिलाड़ी खेलों का विश्लेषण करना बेहद मुश्किल होता है। मुझे इस खेल में कोई नया आयाम भी नहीं मिल रहा है। इसलिए, मैं यह सलाह दूसरों पर छोड़ता हूँ। मेरे सुझाए गए संसाधन ये हैं:

पॉल मैग्रील द्वारा लिखित बैकगैमौन : अगर बैकगैमौन की कोई बाइबल होती, तो वह यही होती। मुझे इसके पुराने हार्ड-कवर संस्करण का गर्व है। यह किताब शुरुआत करने के लिए एक बेहतरीन जगह होगी। हालाँकि यह 1976 में लिखी गई थी, फिर भी इसकी सलाह आज भी प्रासंगिक है।

बिल रॉबर्टी द्वारा लिखित 501 एसेंशियल बैकगैमौन प्रॉब्लम्स : मैं वर्षों से इस किताब को पढ़ने की कोशिश कर रहा हूँ, और अभी भी मैं आधी ही पहुँच पाया हूँ। आधी समस्याओं का गलत हल निकालना निराशाजनक है, इतना कि मुझे लगता है कि मैं बैकगैमौन में भी उतना ही बुरा हूँ जितना गोल्फ में। हालाँकि, हर समस्या के गलत होने पर एक मूल्यवान सबक सीखने को मिलता है। मध्यम से लेकर उन्नत स्तर के खिलाड़ियों के लिए, यह किताब एक मूल्यवान और विनम्र शिक्षण उपकरण है।

स्नोई बैकगैमौन सॉफ्टवेयर : मैं इस खेल के खिलाफ साल में लगभग 1000 गेम खेलता हूँ। स्नोई न केवल लगभग परफेक्ट गेम खेलता है, बल्कि आपको यह भी बताता है कि आपकी गलतियाँ कितनी भारी पड़ सकती हैं। इसके और भी कई फ़ीचर हैं जिनके बारे में मैंने कभी नहीं सोचा। अगर स्नोई से मैंने एक बात सीखी है, तो वह यह है कि मेरे खेल की सबसे बड़ी समस्या यह है कि मैं कभी-कभी बिल्कुल स्पष्ट चालें न देख पाने जैसी मूर्खतापूर्ण गलतियाँ कर बैठता हूँ। शतरंज की तरह, एक गलत चाल 100 अच्छी चालों को खत्म कर सकती है।

मोटिफ वेबसाइट : स्नोई खरीदने से पहले, मैंने मोटिफ के खिलाफ अनगिनत गेम खेले हैं। मेरी राय में, मोटिफ की रणनीति बहुत ही ठोस है। अपने खेल को बेहतर बनाने के लिए किसी मज़बूत प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ खेलने से बेहतर कुछ नहीं है।

मैं कुछ धारणाएँ बनाकर शुरुआत करूँगा। पहला, मैं यह मान रहा हूँ कि तीनों खिलाड़ियों को फ़ाइनल जेपर्डी में सट्टेबाजी के व्यवहार की कोई पूर्व जानकारी नहीं है, सिवाय प्रस्तुत तालिका में सही होने की संभावनाओं के। दूसरा, मैं यह मान रहा हूँ कि श्रेणी जानने से कोई मदद नहीं मिलेगी। तीसरा, मैं यह भी मान रहा हूँ कि तीनों प्रतियोगी जीत के लिए प्रयास करना चाहते हैं, और बराबरी की स्थिति में किसी अन्य खिलाड़ी को अपने साथ नहीं ले जाना चाहते।

आइए खिलाड़ी C से शुरुआत करते हैं। उसे यह अनुमान लगाना चाहिए कि अगर B सही है, तो A, B से ऊपर रहने के लिए $6001 का दांव लगा सकता है। हालाँकि, अगर A गलत है, तो उसकी कीमत $3999 रह जाएगी। ऐसी स्थिति में, A को हराने के लिए C को कम से कम $500 का दांव लगाना होगा और सही होना होगा। हालाँकि, मेरी राय में, अगर आपको जीतना है, तो आपको बड़ा दांव लगाना चाहिए। इसलिए अगर मैं CI होता, तो मैं सब कुछ दांव पर लगा देता।

B बड़ा या छोटा दांव लगाने के बीच उलझा हुआ है। अगर C सही है, तो C से ऊपर रहने के लिए एक छोटा दांव $999 या उससे कम का होना चाहिए। छोटे दांव का फ़ायदा यह है कि चाहे कुछ भी हो, C से ऊपर बना रहे, इस उम्मीद में कि A बड़ा दांव लगाएगा, और ग़लत साबित होगा। एक बड़े दांव के लिए ज़रूरी नहीं कि वह पूरा दांव ही लगाए, लेकिन ऐसा हो भी सकता है। बड़े दांव का फ़ायदा यह उम्मीद करना है कि या तो A छोटा दांव लगाएगा, या बड़ा दांव लगाएगा और ग़लत साबित होगा, लेकिन दोनों के लिए B का सही होना ज़रूरी है।

A मूलतः B की तरह ही दांव लगाना चाहता है। A के लिए एक छोटा दांव $0 से $1000 तक कुछ भी हो सकता है, जो B से ऊपर रहेगा यदि B $999 का दांव लगाता है। एक बड़ा दांव $6001 का होना चाहिए, ताकि A के सही होने पर जीत की गारंटी हो, और अगर B बड़ा दांव लगाता है और तीनों खिलाड़ी गलत होते हैं, तब भी उम्मीद बनी रहे।

सही और गलत उत्तरों के आठ संभावित परिणामों की संभावनाओं को समझने में मदद के लिए, मैंने j-archive.com (जो अब उपलब्ध नहीं है) से सीज़न 20 से 24 तक के फ़ाइनल जेपर्डी परिणामों को देखा। परिणाम इस प्रकार हैं, जहाँ खिलाड़ी A अग्रणी है, उसके बाद खिलाड़ी B, और C अंत में है।

अपनी साइट mathproblems.info पर समस्या 192 में मैंने जिस प्रकार के खेल सिद्धांत तर्क की व्याख्या की है, उसका उपयोग करते हुए, मैं पाता हूं कि A और B को अपनी रणनीति को निम्नानुसार यादृच्छिक बनाना चाहिए।

खिलाड़ी ए को 73.6% संभावना के साथ बड़ा दांव लगाना चाहिए और 26.4% संभावना के साथ छोटा दांव लगाना चाहिए।
खिलाड़ी बी को 67.3% संभावना के साथ बड़ा दांव लगाना चाहिए और 32.7% संभावना के साथ छोटा दांव लगाना चाहिए।
खिलाड़ी सी को 100.0% संभावना के साथ बड़ा दांव लगाना चाहिए।

यदि इस रणनीति का पालन किया जाए तो प्रत्येक खिलाड़ी की जीत की संभावना इस प्रकार होगी:

खिलाड़ी A: 66.48%
खिलाड़ी B: 27.27%
खिलाड़ी C: 6.25%

इसके अलावा, ऊपर दी गई तालिका के आधार पर, लीडर द्वारा फ़ाइनल जेपर्डी सही होने की संभावना 54.4%, दूसरे स्थान पर रहने वाले खिलाड़ी के लिए 49.8% और तीसरे स्थान पर रहने वाले खिलाड़ी के लिए 48.7% है। कुल संभावना 51.0% है।

व्यावहारिक रूप से, खिलाड़ियों को सट्टेबाजी के व्यवहार की जानकारी होती है। मेरे विचार से, खिलाड़ी गणितीय रूप से उचित से ज़्यादा बार बड़ा दांव लगाते हैं। दिलचस्प बात यह है कि मुझे डेली डबल में दांव लगाना गणितीय रूप से उचित से ज़्यादा रूढ़िवादी लगता है। केन जेनिंग्स के इतने अच्छे प्रदर्शन का एक कारण डबल डबल्स पर आक्रामक दांव लगाना था। खैर, अगर मैं वास्तव में शो में होता, तो मैं मानता कि बाकी दो खिलाड़ी आक्रामक दांव लगाएँगे। तो मेरा वास्तविक दांव A के लिए $6000 (B के प्रति दयालुता दिखाते हुए), B के लिए $0, और C के लिए $3495 (थोड़ा सा दांव छोड़कर, अगर A मूर्खतापूर्वक $1 के अलावा सब कुछ या सब कुछ दांव पर लगा दे, और गलत साबित हो जाए) होगा।

इससे पहले कि कोई मुझे चुनौती दे कि वास्तविक स्थल पर कोई यादृच्छिक संख्या कैसे निकाली जा सकती है, मैं स्टैनफोर्ड वोंग की रणनीति का सुझाव देना चाहता हूँ, जिसमें आप अपनी घड़ी की सेकेण्ड सुई का उपयोग करके 1 से 60 तक यादृच्छिक संख्या निकाल सकते हैं।

इस बात को एक तरफ़ रख दें कि ऐसा सिस्टम असंभव होगा, तो मैं लगभग 50 मिलियन डॉलर चार्ज करूँगा। अगर मेरे पास कोई खरीदार नहीं होता, तो भी ठीक है, मैं खुद ही इससे कहीं ज़्यादा कमा लूँगा।

एक छोटा सा कारण कार्ड काउंटरों को विफल करना है। हालाँकि, x कार्ड जलाने के बजाय, डीलर कटे हुए x कार्डों को आगे बढ़ा सकता है, और वही उद्देश्य प्राप्त कर सकता है। मुख्य कारण खेल की सुरक्षा है। एक तो, खिलाड़ी ऊपर वाले कार्ड की एक झलक पा सकता है, और इस जानकारी के आधार पर अपना दांव और रणनीति बदल सकता है। मैं यह जोड़ना चाहूँगा कि ऐसी रणनीति धोखाधड़ी नहीं होगी। ऊपर वाला कार्ड कई धोखाधड़ी योजनाओं के लिए भी असुरक्षित है। इसे चिह्नित किया जा सकता है, डीलर इसे देख सकता है, या किसी वांछित कार्ड को ऊपर की ओर धकेल सकता है। अगर किसी कारण से डीलर को पता चल जाता है कि ऊपर वाला कार्ड क्या है, तो वह उस जानकारी को किसी सहयोगी खिलाड़ी को बता सकता है, जिससे उसे बड़ा फायदा हो सकता है।