जादूगर से पूछो #201

जुए के बारे में मेरी दस आज्ञाओं में से सातवीं आज्ञा है, "तुम्हें अपनी बाजी नहीं लगानी चाहिए।" हालाँकि, अपनी टिप्पणी में मैं यह भी जोड़ता हूँ, "ज़िंदगी बदल देने वाली रकम का बीमा करने के लिए अपवाद बनाए जा सकते हैं।" इसलिए अगर $3,000 का समर्पण मूल्य उसके लिए ज़िंदगी बदल देने वाली रकम है, और जीतने की संभावना 50% से ज़्यादा नहीं होती, तो मुझे उसके फ़ैसले पर कोई आपत्ति नहीं होती। हालाँकि, अगर यह 2002 में न हुआ होता, तो न्यू इंग्लैंड के जीतने की संभावना 50% से कहीं ज़्यादा थी। बाकी दो साल, 2004 और 2005 में जब वे सुपर बाउल में खेले, तो वे 7 अंकों के पसंदीदा थे। मेरा अनुमान है कि दोनों ही सालों में जीतने की संभावना लगभग 71% थी। एक उचित समर्पण मूल्य 0.71 × $6100 (उसकी मूल बाजी वापस सहित) = $4,331 होता। प्रस्ताव पर हाउस एज, जो दूसरी टीम पर सम राशि के दांव के बराबर था, 29%-71% = 42% था। इसलिए, अगर मैं इस साल के बारे में सही हूँ, तो उसने बहुत गलत फैसला लिया। वह दूसरी टीम पर मनी लाइन पर दांव लगाकर खुले बाजार में कहीं बेहतर ऑड्स पा सकता था। जिसने भी केवल $3,000 की पेशकश की, वह या तो खेल से पूरी तरह अनभिज्ञ था या उसने अनुचित लाभ उठाया। दिलचस्प बात यह है कि न्यू इंग्लैंड ने अपने हाल के तीनों सुपर बाउल तीन अंकों से जीते।

मुझे लगता है कि चार्जबैक डेटाबेस में डाला जाना ही एकमात्र कमी होगी। इससे आपका ऑनलाइन जुआ लगभग खत्म हो जाएगा। हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि कैसीनो द्वारा चार्जबैक करना उचित है। यह उनकी गलती नहीं थी कि आपके रूममेट ने आपके क्रेडिट कार्ड का इस्तेमाल किया और आपके पैसे गँवा दिए। सही यही होगा कि आपका रूममेट आपको अपने खोए हुए पैसे वापस करे। मैं इस बारे में बहुत दृढ़ता से सोचता हूँ, क्योंकि मैं खुद कई बार ठगा गया हूँ। यह कोई संयोग नहीं है कि "तुम्हें अपने जुए के कर्ज का सम्मान करना चाहिए" मेरे जुए के दस नियमों में से पहला है। अगर आपका रूममेट मना कर देता है, और आप चार्जबैक के लिए आगे बढ़ते हैं, तो किसी भी जाँच में ईमानदार रहें। यह देखना आसान होगा कि शुल्क एक ही आईपी एड्रेस से आए हैं, और आपसे इसके बारे में पूछा जा सकता है। उसे पहले भुगतान करने का मौका दें, और अगर वह मना करता है, तो उसे इस बारे में न बचाएँ।

प्रायिकता संबंधी प्रश्नों के उत्तर देने के लिए मैं संयोजन फलन का उपयोग करना पसंद करता हूँ। इस प्रकार, डेक में मौजूद 48 गैर-राजा पत्तों में से चार गैर-राजा पत्ते चुनने के लिए संयोजन (48,4) = 194,580 तरीके हैं। डेक में बचे हुए 51 पत्तों में से कोई भी चार पत्ते चुनने के लिए संयोजन (51,4) = 249,900 तरीके हैं। इसलिए, अगले चार पत्तों में कोई राजा न मिलने की प्रायिकता 194,580/249,900 = 77.86% है। इस प्रकार, कम से कम एक प्रकार का पत्ता मिलने की प्रायिकता 100% - 77.86% = 22.14% है।

कई लोगों ने कहा है कि संयोजक फलन शायद उन लोगों के लिए समझ से परे है जो इस तरह के सरल प्रायिकता संबंधी प्रश्न पूछते हैं। मैं इससे असहमत नहीं हूँ, लेकिन इस साइट का एक प्रमुख उद्देश्य मेरे पाठकों को गणित के बारे में कुछ सिखाने का प्रयास करना है। संयोजक फलन प्रायिकता में अत्यंत उपयोगी है, और बहुत समय बचाता है। हालाँकि, इस प्रश्न का उत्तर इसके बिना भी आसानी से दिया जा सकता है।

दूसरे पत्ते के बादशाह न होने की प्रायिकता 48/51 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि डेक में 48 बिना बादशाह वाले पत्ते बचे हैं, और कुल 51 पत्ते बचे हैं। अगर दूसरा पत्ता बादशाह नहीं है, तो तीसरे पत्ते के भी बादशाह न होने की प्रायिकता 47/50 (47 बिना बादशाहों को बचे 50 पत्तों से भाग देने पर) है। इसके बाद अंत तक, बाकी चार पत्तों में से किसी के भी बादशाह न होने की प्रायिकता (48/51)×(47/50)×(46/49)×(45/48) = 77.86% है। ऐसा न होने की, यानी कम से कम एक बादशाह होने की, प्रायिकता 100% - 77.86% = 22.14% है।

हाँ और नहीं। इन खेलों में आमतौर पर बैंकर को फायदा होता है, इसलिए अगर आप हर मौके पर इसका फायदा उठाएँ, तो आपको लंबे समय तक फायदा होगा। हालाँकि, कैसीनो और बैंकिंग संगठनों के बीच इस बात पर सहमति है कि आम खिलाड़ियों को ऐसा ज़्यादा नहीं करना चाहिए, मानो यह कोई व्यवसाय हो, न कि मनोरंजन के लिए जुआ खेलना।

आश्चर्य की बात है कि 52 में से 30 पत्ते सम होने के बावजूद, विषम योग की संभावना 50.03% ज़्यादा है। नीचे दी गई तालिका प्रत्येक सम/विषम विभाजन की संभावना दर्शाती है।

आम तौर पर ये मुफ्त दांव कूपन समान धन दांव तक ही सीमित होते हैं, इसलिए यह एक दिलचस्प मामला है। मेरी सलाह है कि मुफ्त दांव का उपयोग लॉन्ग-शॉट पर करें, ताकि जीतने पर भी आप मुफ्त दांव हार जाएं, इस नियम का प्रभाव कम से कम हो। बिग सिक्स में सबसे बड़ा लॉन्ग-शॉट जोकर/लोगो है, जिसमें जीतने की संभावना 1/54 है। मुझे यकीन नहीं है कि मोहेगन सन जोकर पर 40 या 45 का भुगतान करता है, लेकिन 45 मानते हुए मुफ्त दांव का मूल्य (1/54) × 45 = अंकित मूल्य का 83.33% है। सिक बो में सबसे बड़े लॉन्ग-शॉट छह ट्रिपल पर हैं। मुझे यह भी पता नहीं है कि वे एक विशिष्ट ट्रिपल के लिए क्या भुगतान करते हैं, लेकिन मेरा अनुमान है कि 180। उस स्थिति में छह ट्रिपल दांवों में से किसी एक का मूल्य (1/216) × 180 = अपेक्षित मूल्य का 83.33% होगा उस स्थिति में मैं जीतने की अधिक संभावना वाली शर्त, बिग सिक्स में जोकर/लोगो पर दांव लगाऊंगा, लेकिन यह आप पर निर्भर है।

इक्का पाने का एक तरीका और 10-पॉइंट वाला कार्ड पाने के चार तरीके हैं, कुल मिलाकर 1*4=4 विजयी संयोजन हैं। 52 में से 2 कार्ड चुनने के लिए कॉम्बिन(52,2)=1,326 तरीके हैं। इसलिए जीतने की संभावना 4/1326 = 0.30% है। उचित ऑड्स 330.5 से एक होगा। अपेक्षित रिटर्न 0.0030*300 + 0.9970*-1 = -0.0920 है। इसलिए हाउस एज 9.2% है।

वे इस दांव को फेरबदल के बाद पहले हाथ तक सीमित रखते हैं क्योंकि कार्ड काउंटर इसका फायदा उठा सकता है। कार्डों पर नज़र रखे बिना, आप मान सकते हैं कि हाउस एज हर समय 9.2% है।

आपका स्वागत है। आपके इतिहास के प्रोफ़ेसर ग़लत हैं। यह "छोटी जीत" की रणनीति कोई नई बात नहीं है। आमतौर पर इससे छोटी जीत तो मिलती है, लेकिन कभी-कभार होने वाले बड़े नुकसान उसे मिटा देते हैं। आपके प्रश्न का उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि आप "बेहतर ऑड्स" से क्या मतलब रखते हैं। अगर आपका मतलब है कि किस तरह से सबसे ज़्यादा औसत बैलेंस मिलता है, तो इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। बुनियादी रणनीति मानते हुए, $1,000,000 के एक दांव या $1 के दस लाख दांव पर अपेक्षित नुकसान एक जैसा ही होता है, और आपके पास दोगुना या बाँटने के लिए आरक्षित राशि होती है। हालाँकि, अगर आपका मतलब है कि किसकी शुद्ध जीत की संभावना ज़्यादा है, तो एक ही दांव पर आपकी संभावनाएँ कहीं ज़्यादा बेहतर हैं। अगर आप $1 के दस लाख दांव लगाते हैं, तो अपेक्षित नुकसान $2,850 है, जिसका मानक विचलन $1,142 है। लाभ दिखाने की संभावना 0.6% है। एक हाथ पर $1,000,000 का दांव लगाने पर जीत की संभावना 42.4% है, पुश के साथ 8.5%, तथा शुद्ध हानि 49.1% है।