जादूगर से पूछो #188

Q: यदि आप एक पासे को दस बार उछालते हैं तो किसी दी गई संख्या के एक से अधिक बार आने की संभावना क्या है?

1-(5/6) <sup>10</sup> -10 × (1/6) × (5/6) <sup>9</sup> = 51.55%.

एक कैसीनो डीलर के तौर पर, खेल के बारे में अपनी जानकारी बढ़ाने की चाहत में, मैंने बरसों पहले आपकी साइट पढ़ना शुरू किया था। मुझे याद है कि मैंने पढ़ा था कि डीलर का औसत नॉन-ब्लैकजैक जीतने वाला हाथ 18.56 होता है। आज, एक प्रशिक्षक के तौर पर, मैं अपने छात्रों को यह तथ्य दिखाना चाहता था, लेकिन मैं इसे ढूँढ़ नहीं पाया। सही उत्तर क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है? धन्यवाद।

Fred P. से New Orleans

नीचे दी गई तालिका डीलर के औसत स्कोर को दर्शाती है, यह मानते हुए कि डीलर बस्ट नहीं होता है, और डीलर ने विभिन्न नियमों के अनुसार ब्लैकजैक के लिए पहले ही चेक कर लिया है। ध्यान दें कि डेक की संख्या के साथ औसत स्कोर कैसे बढ़ता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि जब डीलर सॉफ्ट 17 पर पहुँचता है तो औसत स्कोर 0.0405 अधिक होता है। डीलर के सॉफ्ट 17 पर पहुँचने पर डीलर के बस्ट होने की संभावना केवल 0.00403 अधिक होती है। यानी प्रत्येक डीलर बस्ट पर 10.05 अतिरिक्त डीलर पॉइंट। उम्मीद है, इससे यह पता चलता है कि अगर डीलर सॉफ्ट 17 पर पहुँचता है तो यह खिलाड़ी के लिए क्यों बुरा है।

ब्लैकजैक में औसत डीलर कुल

डेक्स	स्टैंड सॉफ्ट 17	हिट सॉफ्ट 17
1	18.840371	18.880098
2	18.842648	18.882868
3	18.843415	18.883798
4	18.843826	18.884288
5	18.844053	18.884564
6	18.844205	18.884720
7	18.844292	18.884880
8	18.844370	18.884981

आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने डीलर के हाथों के सभी संभावित संयोजनों के माध्यम से चक्र करने के लिए C++ में एक ब्रूट फोर्स कॉम्बिनेटरियल प्रोग्राम का उपयोग किया।

जब मैं वेगास में होता हूँ तो मुझे $5.00 का ब्लैकजैक खेलना बहुत पसंद है। मुझे हैरानी हुई कि इस यात्रा में, $5.00 वाला ब्लैकजैक टेबल या तो गायब हो गया था या फिर वे ब्लैकजैक पर 6 से 5 का भुगतान कर रहे थे। मैंने एल कॉर्टेज़ में $5.00 का एक उचित गेम खेला, लेकिन मुझे कोई ऐसा कैसीनो नहीं मिला जो उचित नियमों के साथ $5.00 की टेबल उपलब्ध कराता हो। क्या आप स्ट्रिप या डाउनटाउन में $5.00 के अन्य उचित गेम के बारे में जानते हैं? धन्यवाद। काश, मुझे अपनी हालिया यात्रा से पहले आपकी वेबसाइट मिल जाती।

Tom से Cleveland, OH

कई कैसीनो वास्तव में अपने कम-सीमा वाले खेलों में ब्लैकजैक पर 6 से 5 का भुगतान कर रहे हैं, और यह स्थिति तेज़ी से बदतर होती जा रही है। हालाँकि, अभी भी $5 न्यूनतम पर असली ब्लैकजैक गेम उपलब्ध हैं। अन्य नियम शायद सबसे अच्छे नहीं होंगे, खासकर छह डेक वाले जिनमें डीलर सॉफ्ट 17 पर हिट करता है, लेकिन $5 पर आप बहुत ज़्यादा चूज़ी नहीं हो सकते। ऐसा लगता है कि आप बहुत व्यस्त सप्ताहांत में शहर में थे, या बस ज़्यादा ध्यान से नहीं देखा। किसी भी डाउनटाउन या ऑफ-स्ट्रिप कैसीनो में कुछ असली $5 ब्लैकजैक टेबल होनी चाहिए। ये टेबल आमतौर पर सबसे ज़्यादा भीड़भाड़ वाली होती हैं। स्ट्रिप पर आपको कुछ टोकन $5 गेम मिल सकते हैं, खासकर हफ़्ते के बीच में, जैसे कि एक्सकैलिबर, मोंटे कार्लो, हैराह, फ्लेमिंगो, सर्कस सर्कस, रिवेरा और सहारा।

मैं सीज़र्स इंडियाना में टेक्सास होल्ड 'एम खेलता हूँ। उनके पास बैड बीट जैकपॉट है, यानी अब क्वाड या उससे बेहतर बीट। दोनों खिलाड़ियों को दोनों होल कार्ड खेलने होंगे, और चार खिलाड़ियों को कार्ड बाँटे जाने चाहिए। मेरा सवाल यह है कि किसी भी हाथ के बैड बीट होने की संभावना क्या है, यह मानते हुए कि सभी खिलाड़ी अंत तक बने रहते हैं?

Danielle से Louisville

मेरा नया बैड बीट जैकपॉट अनुभाग 10 खिलाड़ियों वाले खेल में इस प्रकार के बैड बीट की संभावना 0.0000108, या लगभग 93,000 में से 1 दर्शाता है।

नमस्ते -- शानदार साइट! उम्मीद है कि आप एक और टेक्सास होल्ड 'एम बोनस प्रश्न का सामना कर पाएँगे, क्योंकि मैं कोलोराडो में एक अलग तरह का खेल खेलता हूँ। वेगास और अटलांटिक सिटी के नियमों के विपरीत, कोलोराडो में सभी दांव $5 के बराबर होने चाहिए (टेबल पर न्यूनतम दांव कोलोराडो कानून द्वारा निर्धारित $5 की दांव सीमा के बराबर है), इसलिए फ्लॉप दांव, पूर्व दांव के बराबर (दोगुना नहीं) होना चाहिए। अन्यथा, खेल के नियम आपके द्वारा विश्लेषित वेगास संस्करण से मेल खाते प्रतीत होते हैं।

Doug P. से Colorado Springs, CO

धन्यवाद। आमतौर पर टेक्सास होल्ड 'एम बोनस में हाउस एज वेगास नियमों के तहत 2.04% और अटलांटिक सिटी नियमों के तहत 5.59% होता है। आप बिल्कुल सही कह रहे हैं कि कोलोराडो में कोई भी दांव $5 से ज़्यादा नहीं हो सकता। ऊपर बताए गए नियमों के कोलोराडो संस्करण के तहत, हाउस एज 2.35% है।

पिछले सप्ताहांत ब्लैकजैक खेलते समय मेरे साथ एक ऐसी स्थिति आई, जहाँ डीलर के पास ऊपर 6 था, लेकिन जब वह नीचे वाला पत्ता डाल रहा था, तो उसने गलती से दिखा दिया कि उसके पास होल में 3 है। मेरे दाईं ओर के खिलाड़ी के पास 15 था, मेरे पास 11 था, और मेरे बाईं ओर के खिलाड़ी के पास 12 था। यह जानते हुए कि डीलर के पास कुल 9 हैं, मेरे दाईं ओर के खिलाड़ी ने अपना हाथ मारा और 10 के साथ बस्ट हो गया। मैंने डबल डाउन किया और 2 प्राप्त किया। बाईं ओर के खिलाड़ी ने अपना हाथ मारा और 5 प्राप्त किया, कुल 17। डीलर ने अपना 9 का हाथ खोला और दहाई मारा, कुल 19। डीलर ने हमें बताया कि भले ही आपने 3 अंडर देखा हो, आपको अपना हाथ ऐसे खेलना चाहिए जैसे आपको नीचे वाले पत्ते के बारे में पता ही न हो। मैं आपसे पूछना चाहता था कि इस स्थिति में आप तीनों खिलाड़ियों के साथ क्या करते? ब्लैकजैक खेलते हुए ऐसा पहली बार हुआ है। कृपया सलाह दें। धन्यवाद!

Larry C. से Daly City

मेरी फ्लैशिंग ब्लैकजैक डीलर रणनीति बताती है कि ऐसी किसी भी स्थिति में क्या करना चाहिए जहाँ डीलर गलती से अपना होल कार्ड दिखा दे। हालाँकि, ज़्यादातर खिलाड़ियों को यह याद नहीं होता, मेरे जैसे ज़्यादातर खिलाड़ियों को। ऐसे मामलों में जहाँ डीलर के दो पत्तों का कुल योग नौ या उससे कम हो, आप बुनियादी रणनीति अपना सकते हैं, यह मानते हुए कि डीलर का अप कार्ड उसके दोनों पत्तों का योग है। इस सामान्य नियम का पालन करते हुए, तीनों खिलाड़ियों ने सही खेला। डीलर की कही बात के विपरीत, खिलाड़ी को डीलर की इस तरह की गलतियों से प्राप्त किसी भी जानकारी का उपयोग करने का पूरा अधिकार है। मैं न केवल डीलर की टिप्पणी को नज़रअंदाज़ करता, बल्कि खेलता भी रहता, इस उम्मीद में कि वह फिर से ऐसा करेगा।

यदि आप एक पासे को दस बार उछालते हैं तो किसी दी गई संख्या के एक से अधिक बार आने की संभावना क्या है?

Ryan से Silay

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51.55%.

कराधान और चोरी नामक खेल में, एक खिलाड़ी पासों का एक जोड़ा फेंकता है। किसी भी बार यदि योग 7, 11, या 12 आता है, तो खिलाड़ी का ऑडिट होता है; अन्य किसी भी राशि पर वे करों से बचते हैं। यदि कोई खिलाड़ी पासों का जोड़ा 5 बार फेंकता है, तो क्या संभावना है कि वह करों से बच जाता है?

George P. से Stevens Point, WI

7, 11, या 12 आने की प्रायिकता (6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4 है। मैं इस आंकड़े तक कैसे पहुँचा, यह जानने के लिए मेरे पासे की प्रायिकता की मूल बातें वाले अनुभाग को देखें। किसी और चीज़ के आने की प्रायिकता 3/4 है। 7, 11, या 12 आए बिना पाँच बार पासा फेंकने की प्रायिकता (3/4) ⁵ = 23.73% है।

इतनी विस्तृत जानकारी के साथ एक बेहतरीन साइट बनाने के लिए धन्यवाद। आपने ब्लैकजैक में विभिन्न चार्लीज़ के लिए हाउस एज में उल्लेखनीय कमी बताई, लेकिन मुझे अलग तरीके से खेलने का कोई सुझाव नहीं मिला। क्या कोई बुनियादी रणनीति अपवाद हैं जो एक बड़े (6+ डेक) शू में अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए उपयोगी हों? मुझे लगता है कि अगर आप ऐस के खिलाफ चार्ली से एक कार्ड दूर होते, तो आपको ज़्यादा हिट मिलते, क्योंकि डीलर के बस्ट होने की संभावना बहुत कम होती है, लेकिन मुझे विशिष्ट निर्देश देखना अच्छा लगेगा। धन्यवाद।

Matt N. से Ann Arbor

आपका स्वागत है। उन पाठकों के लिए जो प्रश्न को नहीं समझ पा रहे हैं, "चार्ली" एक नियम है जिसमें खिलाड़ी बिना बस्ट हुए, कुछ निश्चित संख्या में, आमतौर पर पाँच से सात, कार्ड्स पर हिट करने पर स्वतः ही जीत जाता है। नीचे दी गई तालिका, तीन या अधिक कार्ड्स के लिए, मूल रणनीति दर्शाती है यदि खिलाड़ी ऐसे स्वतः विजेता से एक या दो कार्ड दूर है।