जादूगर से पूछें कॉलम 158 परिशिष्ट

एनबीए में, प्रत्येक कॉन्फ़्रेंस में 3 डिवीज़न होते हैं, और प्रत्येक कॉन्फ़्रेंस में 8 टीमें प्लेऑफ़ में पहुँचती हैं। प्रत्येक कॉन्फ़्रेंस में शीर्ष 3 सीड संबंधित डिवीज़न विजेता होते हैं, और चौथे से आठवें सीड सर्वश्रेष्ठ रिकॉर्ड वाले गैर-डिवीज़न विजेता होते हैं। इस वर्ष, पश्चिमी कॉन्फ़्रेंस में एक ही डिवीज़न की दो टीमों, स्पर्स और मावेरिक्स, का पश्चिमी कॉन्फ़्रेंस में शीर्ष रिकॉर्ड है। अगर यह स्थिति बनी रही, तो इसका मतलब है कि पश्चिमी कॉन्फ़्रेंस की दूसरी सर्वश्रेष्ठ टीम चौथे सीड पर पहुँच जाएगी और अगर वे दोनों जीत जाती हैं, तो उसे दूसरे राउंड में सर्वश्रेष्ठ टीम से भिड़ना होगा। कई लोग इसे सिस्टम की एक समस्या बता रहे हैं, जबकि एनबीए इसे एक विसंगति मानता है। यह समझाने की कोशिश में कि यह कोई असामान्य बात नहीं है क्योंकि ऐसा अक्सर हो सकता है, ईएसपीएन के एक विश्लेषक ने हाल ही में एक ब्लॉग में यह बयान दिया: "हर कॉन्फ्रेंस में 15 टीमें होती हैं, और तीनों डिवीज़न में पाँच-पाँच टीमें होती हैं। इसका मतलब है कि 14 में से 4 संभावना है कि दूसरे सबसे अच्छे रिकॉर्ड वाली टीम उसी डिवीज़न से होगी जिसका रिकॉर्ड सबसे अच्छा है।" क्या वह सही है कि किसी खास कॉन्फ्रेंस में ऐसा होने की 14 में से 4 संभावना है? आप इसका पता कैसे लगाएँगे? अगर वह सही है, तो 57% मामलों में कम से कम एक कॉन्फ्रेंस में ऐसा होगा, है ना? — हंटिंगटन वुड्स, मिशिगन से एजे

हाँ, वह सही कह रहा है। 15 में से दो सर्वश्रेष्ठ टीमों को चुनने के लिए कॉम्बिन (15,2) = 105 तरीके हैं। सेव डिवीजन से उन्हें चुनने के लिए 3* कॉम्बिन (5,3) = 30 तरीके हैं। इसलिए, दो सर्वश्रेष्ठ टीमों के एक ही डिवीजन से होने की संभावना 30/105 = 4/14 है। कम से कम एक कॉन्फ्रेंस में ऐसा होने की संभावना 1-(10/14) ² = 48.98% है।

एक पाठक ने मुझे मेरी धारणाओं की आलोचना करते हुए पत्र लिखा। यहाँ उसका पूरा ईमेल है।

नमस्ते जादूगर,

मैं आपकी साइट का बहुत बड़ा प्रशंसक हूँ - वहाँ ढेर सारी बेहतरीन जानकारी है। आपके कुछ पुराने 'जादूगर से पूछें' पेज देखते हुए, मुझे एक ऐसा सवाल मिला जिसका जवाब मुझे लगता है कि बहुत ही सरल शब्दों में दिया गया है। समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल की गई जानकारी के अलावा और भी बहुत कुछ है जिस पर ध्यान देने की ज़रूरत है। मुझे लगता है कि आपका जवाब असल में सही जवाब से थोड़ा ज़्यादा है।

यह प्रश्न 'आस्क द विज़ार्ड' # 158 में है और यह एनबीए टीमों की सीडिंग के बारे में है। दावा यह है कि एक कॉन्फ्रेंस में शीर्ष दो टीमें 14 में से 4 बार एक ही डिवीजन से होंगी। आपके द्वारा दिया गया उत्तर यह धारणा बनाता प्रतीत होता है कि प्रत्येक टीम के पास अंतिम कॉन्फ्रेंस स्टैंडिंग में किसी भी स्थान पर समाप्त होने की समान संभावना है। हालांकि यह सच हो सकता है और समस्या के लिए एक सुरक्षित धारणा हो सकती है, फिर ऐसा लगता है कि आप यह धारणा बनाते हैं कि उस सूची की प्रत्येक टीम के पास 3 डिवीजनों में से किसी में होने की समान संभावना है। मुझे विश्वास नहीं है कि यह बिल्कुल मामला है, और मेरा मानना है कि इसका कारण स्टैंडिंग तक पहुंचने का तरीका है। अर्थात, खेल खेले जाते हैं, अंक प्रदान किए जाते हैं, और प्रत्येक टीम की रैंकिंग दूसरी टीम की रैंकिंग से स्वतंत्र नहीं होती है, और यह उस डिवीजन से भी स्वतंत्र नहीं होती है जिसमें वह है।

मैं अक्सर चीज़ों को समझाने में अच्छा नहीं होता, लेकिन मैं यहाँ समझाने की कोशिश करूँगा कि क्यों। मेरा मानना है कि टीमों के थोड़े असंतुलित शेड्यूल के कारण अंतिम तालिका पर असर पड़ता है। प्रत्येक टीम अपने ही डिवीज़न की टीमों के विरुद्ध 16 मैच खेलेगी - प्रत्येक टीम के विरुद्ध 4 मैच। लेकिन प्रत्येक टीम अपने कॉन्फ़्रेंस की अन्य टीमों के विरुद्ध केवल 36 मैच खेलेगी - 6 टीमों के विरुद्ध 4 मैच और 4 टीमों के विरुद्ध केवल 3 मैच। इसका प्रभाव यह होता है कि टीमें अक्सर दूसरे डिवीज़न से अंक लेने की बजाय अपने ही डिवीज़न की टीमों से अंक लेने के लिए लड़ती हैं। परिणामस्वरूप, कॉन्फ़्रेंस में पहले स्थान पर आने वाली टीम अक्सर अपने ही डिवीज़न से अन्य 2 डिवीज़न विजेताओं की तुलना में अधिक अंक लेकर वहाँ पहुँची होती है। इसका मतलब है कि कॉन्फ़्रेंस विजेता के डिवीज़न की दूसरे स्थान की टीम को अंक जुटाने में ज़्यादा मुश्किल हुई है, और परिणामस्वरूप कॉन्फ़्रेंस में उसके दूसरे सबसे ज़्यादा अंक पाने की संभावना कम है।

मैं समझता हूं कि यह विसंगति नगण्य होगी, और मुझे नहीं पता कि इसे किस स्तर पर मापा जा सकता है, लेकिन मेरा मानना है कि इसका क्या प्रभाव हो सकता है, यह जानने के लिए एक कंप्यूटर सिमुलेशन लिखा जा सकता है (जो मेरी क्षमता से कहीं अधिक है)।

इसे और भी स्पष्ट करने के लिए, NHL का कार्यक्रम और भी असंतुलित है। प्रत्येक टीम NBA की तरह ही 82 खेल खेलती है। लेकिन प्रत्येक टीम अपने-अपने डिवीजन में 32 खेल खेलती है - बाकी चार टीमों में से प्रत्येक के खिलाफ 8-8 खेल। फिर वे अंतर-सम्मेलन विरोधियों के खिलाफ 40 खेल खेलते हैं - सम्मेलन की बाकी 10 टीमों में से प्रत्येक के खिलाफ 4-4 खेल।अतः यहां, किसी निश्चित डिवीजन की शीर्ष टीम उस डिवीजन में दूसरे स्थान पर रहने वाली टीम से बहुत अधिक अंक छीन सकती है, जिससे डिवीजन में दूसरे स्थान पर रहने वाली टीम के लिए समग्र सम्मेलन में दूसरे सबसे अधिक अंक प्राप्त करना कठिन हो जाता है।

अंत में, इसे और स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण देते हुए, आइए एक ऐसे कॉन्फ़्रेंस पर विचार करें जिसमें केवल 4 टीमें हैं - 2 डिवीज़न जिनमें से प्रत्येक में 2 टीमें हैं। मूल NBA प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपने जिस तर्क का इस्तेमाल किया था, उसके अनुसार, दो सर्वश्रेष्ठ टीमों के एक ही डिवीज़न से आने की संभावना 3 में से 1 होनी चाहिए।

अगर हम एक संतुलित कार्यक्रम का इस्तेमाल करें, तो मान लीजिए कि हर टीम एक-दूसरे से एक-एक बार खेलती है। अगर आप स्टैंडिंग में बराबरी के मुकाबलों को सही ढंग से वेटेज दें, तो कंप्यूटर सिमुलेशन से पता चलता है कि उम्मीद के मुताबिक, 33.33% बार शीर्ष दो टीमें एक ही डिवीज़न से आएंगी।

हालांकि, अगर हम असंतुलित कार्यक्रम में चिपके रहते हैं, तो इससे चीजें बदल जाएंगी। मान लीजिए कि प्रत्येक टीम अपने डिवीजन की दूसरी टीम से 2 बार खेलती है, लेकिन दूसरे डिवीजन की प्रत्येक टीम से केवल 1 बार खेलती है। और मान लीजिए कि आपके समान डिवीजन की प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ 2 गेम पहले होते हैं। इसलिए प्रत्येक टीम के 2 गेम खेलने के बाद, यह स्पष्ट होना चाहिए कि किसी भी डिवीजन में दूसरे स्थान पर रहने वाली टीम विपरीत डिवीजन की पहले स्थान वाली टीम से बराबरी पर या पीछे होगी। इसलिए अंतिम 2 गेम में उन जीतों को पूरा करने में उसे बहुत कठिन समय लगेगा, जो उसे उन टीमों से आगे निकलने के लिए चाहिए ताकि वह सम्मेलन में दूसरे स्थान पर चढ़ सके। इस कार्यक्रम का उपयोग करके इन स्थितियों का एक त्वरित कंप्यूटर सिमुलेशन मुझे दिखाता है कि शीर्ष दो टीमें केवल 27.07% समय में एक ही डिवीजन से आएंगी।

अब, यह केवल 4 टीमों वाले सम्मेलन के लिए है, जिसमें 4 खेलों का कार्यक्रम है, जहाँ इन-डिवीजन और क्रॉस-डिवीजन खेलों का अनुपात 2:1 है। अगर आप इसे 82 खेलों वाले कार्यक्रम में 15 टीमों वाले सम्मेलन तक बढ़ाते हैं, जहाँ इन-डिवीजन और क्रॉस-डिवीजन खेलों का अनुपात लगभग 4:3.6 है, जैसा कि मैंने पहले कहा था, तो मुझे लगता है कि आपके द्वारा बताए गए 4/14 के आंकड़े से विचलन नगण्य होगा। मेरा अनुमान है कि यह शायद 1% से बहुत कम होगा, और बहुत बड़ा अंतर होगा। लेकिन यह अभी भी होगा, इसलिए उत्तर पूरी तरह से 4/14 नहीं हो सकता।

खैर, मैंने सोचा कि मैं इस ओर ध्यान दिला दूं, और साथ ही आपको धन्यवाद भी देता हूं कि आपने मुझे सोचने के लिए एक आनंददायक समस्या दी और मेरे दिमाग को शांत किया।

सम्मान,
जोनाथन ब्रैडफोर्ड