जादूगर से पूछो #149

व्यक्तिगत रूप से मुझे समझ नहीं आ रहा कि पैरोन्डो के विरोधाभास में क्या दिलचस्प है, लेकिन आप मुझसे इसके बारे में पूछने वाले पहले व्यक्ति नहीं हैं, इसलिए मैं आपको इस पर अपने विचार बताऊँगा। इसका सार यह है कि अगर आप दो हारने वाले खेलों के बीच बारी-बारी से खेलते हैं, तो खिलाड़ी को फायदा हो सकता है।

उदाहरण के लिए, गेम 1 पर विचार करें जिसमें $1 जीतने की संभावना 49% और $1 हारने की संभावना 51% है। गेम 2 में, अगर खिलाड़ी का बैंकरोल 3 से समान रूप से विभाज्य है, तो उसके $1 जीतने की संभावना 9% और $1 हारने की संभावना 91% है। गेम 2 में, अगर खिलाड़ी का बैंकरोल 3 से विभाज्य नहीं है, तो उसके $1 जीतने की संभावना 74% और $1 हारने की संभावना 26% है।

गेम 1 का अपेक्षित मूल्य स्पष्ट रूप से 49%*1 + 51%*-1 = -2% है।

गेम 2 में, आप दोनों संभावनाओं का भारित औसत नहीं निकाल सकते। ऐसा इसलिए है क्योंकि खेल में जीत के साथ बैंकरोल शेष 1 से जल्दी ही छुटकारा मिल जाता है, और अक्सर शेष 0 और 2 के बीच बारी-बारी से होता है। दूसरे शब्दों में, बैंकरोल 9% जीत की संभावना के साथ खेल को असमान रूप से खेलेगा। कुल मिलाकर, गेम 2 में केवल अपेक्षित मान -1.74% है।

हालाँकि, गेम 1 के दो और गेम 2 के दो गेम बारी-बारी से खेलकर, हम गेम 2 के बारी-बारी के पैटर्न को तोड़ देते हैं। इसका परिणाम 75% संभावना वाला गेम ज़्यादा और 9% कम संभावना वाला गेम खेलना होता है। दोनों गेम को मिलाने के अनगिनत तरीके हैं। गेम 1 के दो राउंड और गेम 2 के दो राउंड खेलने और फिर दोहराने की 2 और 2 रणनीति से 0.48% का अपेक्षित मान प्राप्त होता है।

मुझे ज़ोर देकर कहना चाहिए कि कैसीनो में इसका कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है। कोई भी कैसीनो गेम खिलाड़ी के बैंकरोल के आधार पर नियम नहीं बदलता। हालाँकि, मेरा अनुमान है कि यह बस समय की बात है जब कोई धोखेबाज़ पैरोन्डो सट्टेबाजी प्रणाली लेकर आएगा, जो रूलेट और क्रेप्स के बीच बारी-बारी से खेलेगा, जो निश्चित रूप से बाकी सभी सट्टेबाजी प्रणालियों की तरह ही बेकार होगी।

यह सत्य है कि एकल घटनाओं के लिए यदि प्रायिकता p है, तो औसत प्रतीक्षा समय 1/p है। हालाँकि, क्रमागत घटनाओं के साथ यह और अधिक जटिल हो जाता है। मान लीजिए x वह स्थिति है जहाँ अंतिम रोल दो नहीं था। यह शुरुआत की स्थिति भी है। मान लीजिए y वह स्थिति है जहाँ अंतिम रोल दो था। पहले रोल के बाद, हमारे x अवस्था में रहने की 5/6 संभावना है, और y अवस्था में रहने की 1/6 संभावना है। मान लीजिए Ex(x) अवस्था x से रोल की अपेक्षित संख्या है, और Ex(y) अवस्था y से रोल की अपेक्षित संख्या है। तो...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), और
एक्स(y) = 1 + (5/6)*एक्स(x)

इन दो समीकरणों को हल करने पर...

उदाहरण(x) = 1 + (5/6)*उदाहरण(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*उदाहरण(x))
उदाहरण(x) = 7/6 + (35/36)*उदाहरण(x)
(1/36)*एक्स(x) = 7/6
उदाहरण(x) = 36*(7/6) = 42

अतः लगातार दो बार दो आने के लिए औसत प्रतीक्षा समय 42 बार है।

मेरे पास भी इसी प्रकार की समस्या है, केवल दो सिर पाने के लिए अपेक्षित फ्लिप, गणित की समस्याओं की मेरी साइट में, समस्या 128 देखें।

मेरा मानना है कि ब्रेकअप के बाद किसी जोड़े का दोस्त बने रहना लगभग नामुमकिन है। आप बस यही उम्मीद कर सकते हैं कि क्रिसमस कार्ड जैसा रिश्ता हो। इससे ज़्यादा कुछ भी हो और कम से कम एक पक्ष फिर से साथ आने के बारे में सोच रहा हो। हालाँकि आपने पूछा नहीं, ब्रेकअप के बारे में मेरी सलाह यही है कि इसे ठंडे दिमाग से करें और अपनी ज़िंदगी में आगे बढ़ें। मुझे बिल्कुल नहीं पता कि यहाँ क्या हो रहा है, लेकिन जहाँ धुआँ है वहाँ आग भी है। आपके पास आरोप लगाने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं, फिर भी आप शक करते रहते हैं।

संयोग से, मैंने सुना है कि एक वेगास कैसीनो भी ऐसा ही कर रहा था क्योंकि वे अपना कैरेबियन स्टड गेम हटाना चाहते थे। स्ट्रेट फ्लश द्वारा पूरा जैकपॉट जीतने पर अपेक्षित रिटर्न की गणना करने का एक सामान्य सूत्र यहाँ दिया गया है।(((5108*FL+3744*FH+624*FK+40*J)/2598960)-M*0.052243-1)/(M+1)जहाँ

FL = फ्लश जीत
एफएच = फुल हाउस जीत
FK = एक तरह के चार
n J = जैकपॉट राशि
M = न्यूनतम पूर्व शर्त

आपके मामले में हमारे पास (((5108*150+3744*300+624*1500+40*155000)/2598960)-5*0.052243-1)/(5+1) = 36.858% है। इसलिए खिलाड़ी का लाभ संयुक्त एंटे प्लस $1 साइड बेट का 36.858% है, या प्रति हाथ $2.21 का अपेक्षित लाभ है।

सटीक उत्तर 1-(9,999,999/10,000,000) ^10,000,000 = 0.632121 है। यह भी (e-1)/e के समान ही है, सात दशमलव स्थानों तक।

यह पोकर शिष्टाचार के बिल्कुल विपरीत है। अगर आपने वेगास में ऐसा किया होता, तो शायद आपको पहली बार ऐसा दोबारा न करने की चेतावनी दी जाती। दूसरी बार ऐसा करने पर शायद आपको टेबल से बाहर कर दिया जाता।

मेरा दृढ़ विश्वास है कि शफलिंग मशीनों के निर्माता कम से कम शफलर्स को यथासंभव निष्पक्ष और यादृच्छिक बनाने का प्रयास करते हैं। मुझे यकीन है कि जानबूझकर की गई गड़बड़ी वाली मशीन नेवादा कानून का उल्लंघन करेगी। x+1 कार्डों में अच्छे x-कार्ड हाथ देखना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, तीन कार्डों में एक तरह के तीन कार्ड आने की संभावना 0.235% है, और चार कार्डों में 0.922%, या लगभग चार गुना ज़्यादा।

सबसे पहले, मैं सहकर्मियों के साथ डेटिंग के बारे में अपनी राय बता दूँ। मैं इसके पूरी तरह पक्ष में हूँ! मैं उन नियमों का भी सम्मान नहीं करता जो अंतर-कार्यालय संबंधों पर रोक लगाते हैं। रोज़ाना मिलने वाले चेहरों पर रोक लगाए बिना लोगों से मिलना ही मुश्किल है। हालाँकि, अगर दोनों लोग एक ही कमान श्रृंखला में हों, तो मैं एक अपवाद रखूँगा। ऐसा लगता नहीं कि यहाँ ऐसा है, इसलिए मैं बिंदु B को आपके रास्ते में नहीं आने दूँगा।

यह तथ्य कि आप दोस्त हैं, एक बहुत अच्छा संकेत है। मुझे पता है कि यह जूनियर हाई स्कूल जैसा लगता है, लेकिन क्या कोई ऐसा भरोसेमंद व्यक्ति है जिसे आप उसे यह जानने के लिए भेज सकें कि वह आपके बारे में कैसा महसूस करती है? अगर नहीं, तो शायद आप कभी-कभी उसके और कुछ अन्य सहकर्मियों के साथ काम के बाद डिनर का आयोजन कर सकते हैं। शायद एक ज़्यादा अनौपचारिक माहौल में, और बेहतर होगा कि उसे कुछ ड्रिंक्स पिलाकर, आप थोड़ी गहराई से उसकी बात समझ सकें। अपनी भावनाओं को सीधे ज़ाहिर किए बिना, रिश्ते को और गरमाहट देने के लिए कुछ भी करें। अगर आप ऐसा करते हैं और उसकी भावनाएँ आपके जैसी नहीं होतीं, तो यह आपकी दोस्ती को बर्बाद कर देगा।

आपके सवाल का जवाब यह है कि आपके उससे प्यार करने की संभावना साफ़ तौर पर 100% है। इसके विपरीत कहना मुश्किल है, लेकिन शायद सिर्फ़ 10% ही। लेकिन इससे निराश मत होइए, हो सकता है उसे अभी और समय चाहिए हो। आपको शुभकामनाएँ। मुझे जानने में दिलचस्पी होगी कि आगे क्या होता है।