जादूगर से पूछो #117

इस साइट पर सबसे अच्छी सलाह शायद यही होगी: पहला राउंड, हमेशा कागज़ उठाएँ। ऐसा इसलिए क्योंकि शौकिया खिलाड़ी पहली बार में पत्थर उठाते हैं। बस हर स्थिति में एक-एक करके अपना हाथ बढ़ाएँ, और आप देखेंगे कि पत्थर सबसे आरामदायक और स्वाभाविक विकल्प है। अगर आप बार-बार राउंड खेलते हैं, तो आपको वह चुनना चाहिए जो आपके प्रतिद्वंदी को आखिरी राउंड में हरा दे, और संभावना एक-तिहाई से भी कम हो। ऐसा इसलिए क्योंकि मेरा मानना है कि शौकिया खिलाड़ी एक-तिहाई से भी कम बार दोहराते हैं। अगर आप किसी ऐसे पेशेवर खिलाड़ी के साथ खेल रहे हैं जिससे आपको डर है कि वह आपके दिमाग में घर कर सकता है, तो अपनी घड़ी की सेकंड सुई देखकर रैंडमाइज़ करें, सेकंड की संख्या को तीन से भाग दें और शेष निकालें, फिर शेष को इस तरह मैप करें: 0=पत्थर, 1=कैंची, 2=कागज़ (या पहले से तय की गई कोई भी अन्य मैपिंग)। तो अगली बार जब आप डच स्टाइल में किसी रेस्टोरेंट जाएँ, तो मेरा सुझाव है कि चेक के लिए एक राउंड खेलें और फिर कागज़ चुनें। आप मुझे बाद में धन्यवाद दे सकते हैं।

कॉम्प्स के मामले में सामान्य नियम यह है कि कैसीनो कुछ प्रतिशत, आमतौर पर एक-तिहाई, वापस देते हैं। इसलिए अगर आपका लक्ष्य कम से कम अपेक्षित नुकसान के साथ रूम हासिल करना है, तो आपको वही गेम खेलना चाहिए जिसमें हाउस एज सबसे कम हो। आप पाई गो या पाई गो पोकर खेलकर शायद वह रूम तेज़ी से और कम बैंकरोल अस्थिरता के साथ जीत लेंगे। हालाँकि, हाउस एज ज़्यादा है, इसलिए आपका अपेक्षित नुकसान ब्लैकजैक से ज़्यादा होगा। मेरी राय में, आपको वही खेलना चाहिए जो आप कॉम्प्स न होने पर खेलते। फिर कॉम्प्स को सोने पर सुहागा समझें।

मुझे उम्मीद है कि ऐसा नहीं होगा। अगर कोई ऐसा मुकदमा दायर करता है, तो मुझे उम्मीद है कि कैसीनो जीत जाएगा। जब तक कैसीनो ईमानदारी और निष्पक्षता से काम कर रहे हैं, जो कि आम तौर पर मेरा मानना है कि वे करते हैं, तब अगर खिलाड़ी अपनी क्षमता से ज़्यादा हार जाता है, तो यह उसकी अपनी गलती है। मैं वकील नहीं हूँ, लेकिन यहाँ वेगास में कोई भी इस बारे में ज़्यादा चिंतित नहीं दिखता।

कैसीनो को ऐसा करने का अधिकार था। हालाँकि, मेरी राय में, यह एक गलत व्यावसायिक निर्णय था। कैसीनो ने न केवल इस गड़बड़ी को सुलझाने में समय बर्बाद किया, बल्कि, जैसा कि आपने बताया, इससे सभी खिलाड़ियों की भावनाएँ खराब हुईं। यह नियमों का पूरी तरह से पालन करने की मूर्खता को दर्शाता है। व्यक्तिगत रूप से, मुझे लगता है कि नियमों को सामान्य ज्ञान के आधार पर तौला जाना चाहिए।

सबसे आसान गिनती विधि जिसे मैं "आईबॉल" विधि कहता हूँ, वह है, जिसमें अगर आपको बहुत सारे छोटे पत्ते निकलते दिखें तो आप अपनी बाजी बढ़ा सकते हैं, और इसके विपरीत। हालाँकि, यह एक और दो डेक वाले खेलों के लिए ज़्यादा उपयुक्त है। 6 या 8 डेक वाले खेलों के लिए, मैं इक्के/पाँच की गिनती की सलाह दूँगा। इसमें सिर्फ़ इक्के और पाँच की गिनती करनी होती है। केन उस्टन के अनुसार, मिलियन डॉलर ब्लैकजैक में, इससे खिलाड़ी को केवल 1 से 3 यूनिट की बाजी सीमा पर 0.5% अतिरिक्त मिलता है। यह ज़्यादातर खेलों में हाउस एज को पार करने के लिए पर्याप्त है।

सात पासों में सात छक्के आने की प्रायिकता (1/6) ⁷ = 279,936 में 1 है। इसलिए इस दांव को सही साबित करने के लिए कार की कीमत £279,936 या उससे ज़्यादा होनी चाहिए। आपकी औसत रोल्स रॉयस भी इतनी कीमत की नहीं होती, इसलिए मैं कहूँगा कि यह एक बहुत ही बुरा दांव था।

[ब्लूजे आगे कहते हैं: हाँ, लेकिन मुझे लगता है कि मुद्दा यह था कि यह दान के लिए था। क्या ज़्यादा मज़ेदार है: दान के लिए £1.00 दान करना और बदले में कुछ न पाना, सिर्फ़ मदद करने का अच्छा एहसास, या £1.00 दान करना और अच्छा एहसास के साथ-साथ कार जीतने का सुनहरा मौका?]

नहीं! सट्टेबाजी प्रणालियाँ न केवल हाउस एज को पार नहीं कर पातीं, बल्कि उसमें कोई कमी भी नहीं ला पातीं। न ही वे हाउस एज को बढ़ा सकती हैं। वे बस अस्थिरता को प्रभावित कर सकती हैं। चूँकि आपको लगता है कि आपको अस्थिर, रोमांचक खेल पसंद है, तो आपका सिस्टम अपना उद्देश्य पूरा कर रहा है। बस जीतने की उम्मीद मत कीजिए।

मैं अक्सर ऐसा नहीं कहता, लेकिन मैंने घंटों कोशिश की, लेकिन इस सवाल का गणित मेरे बस से बाहर था। इसलिए मैंने अपने दोस्त और गणित के प्रोफ़ेसर गैबर मेग्येसी से सलाह ली। किसी भी "सूखे" की समस्या के लिए उनका सूत्र यहाँ दिया गया है।

1. मान लीजिए कि किसी भी दिए गए हाथ को जीतने की संभावना p है।
2. मान लीजिए d सूखे की अवधि है।
3. मान लीजिए कि खेले गए हाथों की संख्या n है।
4. k=dp और x=np सेट करें।
5. यदि k=1 तो a=-1 मान लें, अन्यथा a को इस प्रकार ज्ञात करें कि k=-ln(-a)/(1+a). (a एक ऋणात्मक संख्या है, यदि k>1 तो -1 < a < 0, यदि k < 1 तो a < -1, तथा a की गणना उच्च परिशुद्धता से की जानी चाहिए।) [विज़ार्ड का नोट: इस प्रकार का समाधान एक्सेल में टूल मेनू के अंतर्गत लक्ष्य खोज सुविधा का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है।]
6. यदि k=1 तो A=2 मान लें, अन्यथा A=(1+a)/(1+ak) मान लें।
7. n हाथों में d लंबाई के सूखे की संभावना लगभग Ae ^{a x} है।

इस विशिष्ट समस्या में p=1/40391, d=200000, n=1000000, k=4.9516, x=24.758, a=-0.0073337, A=1.03007 है। अतः सूखे की संभावना 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042 है। इस प्रकार कम से कम एक बार सूखे की संभावना 1-0.859042 = 0.140958 है।

यहाँ गैबर मेग्येसी का पूरा 5-पृष्ठ का समाधान (पीडीएफ़) है। आपकी मदद के लिए धन्यवाद गैबर।

मैंने दस लाख हाथों के 32,095 सेटों का एक यादृच्छिक सिमुलेशन किया। कम से कम एक बार सूखे की स्थिति वाले लोगों की संख्या 4558 थी, जिसकी प्रायिकता 14.20% थी।

यह खिलाड़ियों के विशिष्ट कौशल पर निर्भर करेगा। यह जाने बिना, लेकिन यह मानते हुए कि खिलाड़ियों का कौशल स्तर समान है, मैं बैंक विकल्प को एक खिलाड़ी से दूसरे खिलाड़ी के बीच घुमाऊँगा।

यह सच है कि अगर डीलर सॉफ्ट 17 पर हिट करता है तो कैसीनो ज़्यादा बार बस्ट होता है। हालाँकि, डीलर को सत्रह कम मिलते हैं, जो एक बहुत अच्छा हाथ नहीं है। सॉफ्ट 17 पर हिट करना डीलर के लिए फायदेमंद होता है, ठीक उसी तरह जैसे खिलाड़ी को हमेशा सॉफ्ट 17 पर हिट या डबल करना चाहिए। 17 एक खराब हाथ होता है, और चाहे खिलाड़ी हो या डीलर, सॉफ्ट 17 पर हिट करने से उसे बेहतर बनाने के दो मौके मिलते हैं।

• एक ही तरह के पाँच: 6/6 ⁵ = 0.08% (स्पष्ट)
• एक ही तरह के चार: 5*6*5 = 1.93% (सिंगलटन के लिए पांच संभावित स्थान * एक ही तरह के चार के लिए 6 रैंक * सिंगलटन के लिए 5 रैंक)।
• फुल हाउस: कॉम्बिन(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3.86% (एक तरह के तीन के लिए कॉम्बिन(5,3) स्थिति * एक तरह के तीन के लिए 6 रैंक * जोड़ी के लिए 2 रैंक)।
• एक तरह के तीन: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15.43%. (एक तरह के तीन के लिए combin(5,3) स्थिति * बड़े सिंगलटन के लिए combin(2,1) स्थिति * एक तरह के तीन के 6 रैंक * दो सिंगलटन के लिए combin(5,2) रैंक.
• दो जोड़ी: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23.15% (उच्च जोड़ी के लिए combin(5,2) स्थिति * निम्न जोड़ी के लिए combin(3,2) स्थिति * दो जोड़ी के लिए combin(6,4) रैंक * सिंगलटन के लिए 4 रैंक।
• जोड़ी: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46.30% (जोड़ी के लिए combin(5,2) स्थिति * तीन सिंगलटन के लिए fact(3) स्थिति * जोड़ी के लिए 6 रैंक * सिंगलटन के लिए combin(5,3) रैंक।
• सीधे: 2*fact(5) / 6 ⁵ = 3.09% (सीधे {1-5 या 2-6} * fact(5) क्रम व्यवस्थित करने के तरीकों के लिए 2 स्पैन)।
• कुछ नहीं: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6.17% (combin(6,5) छह में से 5 रैंक चुनने के तरीके, स्ट्रेट्स के लिए 2 कम, * क्रम व्यवस्थित करने के तथ्य(5) तरीके।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। मुझे डर है कि मुझे, खुद मेरे अलावा, कोई ऐसा स्रोत नहीं पता जो गेम विश्लेषण के लिए कोड दिखाता हो। मुझे अपने ब्लैकजैक इंजन को पूरी तरह से काम करने में सालों लग गए (जब डीलर के पास 10 या इक्का दिख रहा हो, तब स्प्लिट करना बहुत मुश्किल था)। ब्लैकजैक के लिए हाउस एज पाने का एक आसान तरीका एक रैंडम सिमुलेशन लिखना है। मैं किसी दिन इस बारे में एक किताब लिखना चाहूँगा कि मैंने खेलों का विश्लेषण कैसे किया, लेकिन मुझे डर है कि सिर्फ़ आप ही इसे खरीदेंगे।