खिलाड़ी प्रॉप्स के लिए भिन्नता और बैंकरोल प्रबंधन

प्रॉप बेटिंग में भिन्नता को समझना

सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ भी, अल्पकालिक परिणाम भिन्नता के कारण उतार-चढ़ाव वाले होते हैं। 60% जीत दर (खेल सट्टेबाजी में उत्कृष्ट) का अर्थ है कि आप हर 10 में से 4 दांव हारते हैं। भिन्नता को गणितीय रूप से समझने से यथार्थवादी अपेक्षाएँ निर्धारित करने में मदद मिलती है।

बाइनरी परिणामों के लिए मानक विचलन

खिलाड़ी के दांव आमतौर पर द्विआधारी परिणाम होते हैं: आप जीतते हैं या हारते हैं। जीत की संभावना p वाले एकल दांव के लिए, परिणामों का मानक विचलन है:

यह एकल दांव के परिणाम की अनिश्चितता को मापता है। 60% संभावना वाले दांव के लिए:

मानक विचलन 0.49 है, जो वास्तव में अपेक्षित मान 0.20 के सापेक्ष काफी अधिक है (यदि 60% जीत दर के साथ +100 ऑड्स पर दांव लगाया जाए)।

एकाधिक दांवों पर मानक विचलन

यदि आप समान विशेषताओं के साथ n स्वतंत्र दांव लगाते हैं, तो कुल परिणामों का मानक विचलन है:

महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि: मानक विचलन दांवों की संख्या के वर्गमूल के साथ बढ़ता है। यदि आप 1 के बजाय 100 दांव लगाते हैं, तो आपका मानक विचलन √100 = 10 गुना बढ़ जाता है, लेकिन आपका अपेक्षित मान 100 गुना बढ़ जाता है। यही कारण है कि लाभ के दांव लगाने वाले जितना संभव हो उतने +EV दांव लगाना चाहते हैं—अपेक्षित मान अनिश्चितता की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है।

गुणांक का परिवर्तन

एक उपयोगी मीट्रिक भिन्नता गुणांक (सीवी) है, जो सापेक्ष अनिश्चितता को मापता है:

जहाँ μ अपेक्षित मान है। n दांवों पर:

CV √n के रूप में घटता है, जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे आप अधिक दांव लगाते हैं, सापेक्ष अनिश्चितता कम होती जाती है।यह बड़ी संख्या के नियम का गणितीय आधार है: पर्याप्त पुनरावृत्तियों के बाद, वास्तविक परिणाम अपेक्षित मान की ओर अभिसरित होते हैं।

केली मानदंड: इष्टतम दांव आकार

1956 में जॉन केली द्वारा विकसित केली मानदंड, इष्टतम दांव आकार के लिए एक गणितीय सूत्र प्रदान करता है जो बर्बादी के जोखिम को नियंत्रित करते हुए दीर्घकालिक बैंकरोल वृद्धि को अधिकतम करता है।

सूत्र

जीत की संभावना p और ऑड्स b (जीतने पर प्रति डॉलर दांव पर लाभ) वाली शर्त के लिए, शर्त लगाने के लिए आपके बैंकरोल का इष्टतम अंश है:

कहाँ:

• f* = दांव लगाने के लिए बैंकरोल का इष्टतम अंश
• b = दशमलव ऑड्स - 1 (जीतने पर प्रति डॉलर लाभ)
• p = जीतने की वास्तविक संभावना
• q = 1 - p (हारने की संभावना)

व्युत्पत्ति (सरलीकृत)

केली ने धन के अपेक्षित लघुगणक को अधिकतम करके यह व्युत्पन्न किया। यदि आप बैंकरोल B के अंश f पर दांव लगाते हैं:

• यदि आप जीतते हैं (संभावना p): नया बैंकरोल = B(1 + fb)
• यदि आप हार जाते हैं (संभावना q): नया बैंकरोल = B(1 - f)

अपेक्षित लॉग संपदा:

अधिकतम करने के लिए, f के सापेक्ष व्युत्पन्न लें और उसे शून्य पर सेट करें:

f के लिए हल करने पर प्राप्त होता है:

यह सूत्र समय के साथ आपके बैंकरोल की ज्यामितीय वृद्धि दर को अधिकतम करता है।

फ्रैक्शनल केली: रूढ़िवादी दृष्टिकोण

पूर्ण केली सट्टेबाजी दीर्घकालिक वृद्धि को अधिकतम करती है, लेकिन इसके परिणामस्वरूप बैंकरोल में उल्लेखनीय अस्थिरता आ सकती है। अधिकांश गंभीर सट्टेबाज धीमी वृद्धि की कीमत पर भिन्नता को कम करने के लिए आंशिक केली का उपयोग करते हैं।

सामान्य भिन्न

• पूर्ण केली (1.0x): अधिकतम वृद्धि, उच्च विचरण
• हाफ केली (0.5x): विकास दर का 75%, विचरण का 50%
• क्वार्टर केली (0.25x): विकास दर का 50%, विचरण का 25%

भिन्नात्मक केली का सूत्र:

फ्रैक्शनल केली का उपयोग क्यों करें?

1. अनुमान त्रुटि: यदि आपका संभाव्यता अनुमान गलत है, तो पूर्ण केली अत्यधिक आक्रामक हो सकती है। आंशिक केली एक सुरक्षा मार्जिन प्रदान करती है।
2. कम अस्थिरता: हाफ केली नाटकीय रूप से बैंकरोल में उतार-चढ़ाव को कम करता है, जबकि अधिकांश वृद्धि को बरकरार रखता है।
3. मनोवैज्ञानिक आराम: लगातार हार के दौरान छोटे आकार के दांव पर टिके रहना आसान होता है।
4. एक साथ कई दांव: यदि आप एक साथ कई प्रॉप्स पर दांव लगा रहे हैं, तो पोर्टफोलियो जोखिम के लिए आंशिक केली खाता शामिल है।

उदाहरण: हाफ केली बनाम फुल केली

हमारे पहले के उदाहरण से -110 पर 55% जीत की संभावना के साथ:

1,000 डॉलर के बैंकरोल पर:

• फुल केली: $55 प्रति दांव
• हाफ केली: $27.50 प्रति दांव
• क्वार्टर केली: $13.75 प्रति दांव

अधिकांश पेशेवर सट्टेबाज इन्हीं कारणों से क्वार्टर केली और हाफ केली के बीच दांव लगाते हैं।

बर्बादी का जोखिम: बैंकरोल से बचने की रणनीति को समझना

बर्बादी का जोखिम वह संभावना है कि आपका बैंकरोल ठीक होने से पहले शून्य (या किसी न्यूनतम सीमा) तक गिर जाएगा। सकारात्मक EV के साथ भी, अगर आप बहुत ज़्यादा दांव लगाते हैं, तो बर्बादी का जोखिम हमेशा बना रहता है।

सरलीकृत सूत्र

सकारात्मक EV के साथ बार-बार दांव लगाने पर, बर्बादी के जोखिम का अनुमान है:

कहाँ:

• EV = प्रति दांव अपेक्षित मूल्य (डॉलर में)
• N = बैंकरोल आकार (डॉलर में)
• σ² = प्रति दांव विचरण

जुआरी का विनाश सूत्र (विभेदित)

निश्चित दांव आकार के साथ अधिक सटीक गणना के लिए, यदि आप प्रारंभिक बैंकरोल बी और दांव आकार बी से शुरू करते हैं:

यह सकारात्मक EV (p > q) के साथ जुआरी के बर्बाद होने का मानक अनुमान है। यह आपके लाभ के प्रकट होने से पहले आपके पूरे बैंकरोल के हारने की संभावना का अनुमान लगाता है।

कार्य उदाहरण

कल्पना करना:

• बैंकरोल: $1,000
• दांव का आकार: $50 (बैंकरोल का 5%)
• जीत की संभावना: 55%
• ऑड्स: -110 (जीत $45.45, हार $50)

दिवालिया होने के लिए हारने वाले दांवों की संख्या: $1,000 / $50 = 20

5% केली-आकार की शर्त और सकारात्मक EV के साथ भी, आपकी बढ़त प्रकट होने से पहले दिवालिया होने की लगभग 2% संभावना है।

केली बर्बादी के जोखिम को कैसे कम करती है

केली बेटिंग की ख़ासियत यह है कि यह दांव के आकार को स्वचालित रूप से बैंकरोल के अनुसार ढाल देता है। जैसे-जैसे आपका बैंकरोल बढ़ता है, आपके दांव का आकार बढ़ता है। और जैसे-जैसे यह घटता है, आपके दांव का आकार घटता जाता है।इस गतिशील समायोजन का अर्थ है कि आप कभी भी स्वयं को किसी कोने में नहीं धकेलेंगे।

सच्चे केली दांव (लगातार दांव के आकार को समायोजित करते हुए) के साथ, समय के साथ बर्बादी का जोखिम शून्य के करीब पहुँच जाता है (हालाँकि यह सीमित समय में कभी भी पूरी तरह शून्य नहीं होता)। यही कारण है कि केली गणितीय रूप से इष्टतम है: यह विकास को अधिकतम करता है और साथ ही दीर्घकालिक दांव लगाने वालों के लिए बर्बादी के जोखिम को अनिवार्य रूप से समाप्त कर देता है।

पोर्टफोलियो प्रभाव: कई प्रॉप्स पर दांव लगाना

व्यवहार में, आप एक समय में सिर्फ़ एक ही प्रॉप पर दांव नहीं लगाएँगे। आपके पास एक साथ कई दांव सक्रिय होंगे। इससे पोर्टफोलियो प्रभाव पैदा होता है जो इष्टतम दांव आकार को प्रभावित करता है।

विभिन्न खेलों से स्वतंत्र प्रॉप्स

अगर आप अलग-अलग खेलों (अलग-अलग टीमों, अलग-अलग खेलों) के प्रॉप्स पर दांव लगाते हैं, तो ये दांव लगभग स्वतंत्र होते हैं। पोर्टफोलियो सिद्धांत हमें बताता है कि पोर्टफोलियो का विचरण है:

n समान दांवों के लिए:

इसका मतलब है कि अगर आप स्वतंत्र प्रॉप्स पर एक साथ 4 केली-आकार के दांव लगा रहे हैं, तो आपका बैंकरोल एक ही दांव के मानक विचलन का 2 गुना होगा। जोखिम का स्तर समान बनाए रखने के लिए, आपको प्रत्येक दांव को आधा केली तक कम करना चाहिए।

स्वतंत्र दांव के लिए सामान्य नियम

यदि आप औसतन n एक साथ स्वतंत्र दांव सक्रिय रखने की योजना बनाते हैं:

उदाहरण:

• एक समय में 1 दांव → 1.0x केली
• एक समय में 4 दांव → 0.5x केली (आधा केली)
• एक समय में 9 दांव → 0.33x केली (एक तिहाई केली)
• एक समय में 16 दांव → 0.25x केली (क्वार्टर केली)

एक ही खेल से संबंधित प्रॉप्स

जैसा कि हमने अनुच्छेद 4 में चर्चा की है, एक ही खेल के प्रॉप्स आपस में जुड़े होते हैं। यदि आप एक ही खेल के कई प्रॉप्स पर दांव लगाते हैं, तो आप अतिरिक्त जोखिम उठा रहे हैं क्योंकि उनके एक साथ जीतने या हारने की संभावना है।

सहसंबद्ध दांवों के लिए, दांव का आकार और कम कर दें। एक मोटा दिशानिर्देश:

• कम सहसंबंध (ρ < 0.2): स्वतंत्र मानें
• मध्यम सहसंबंध (ρ = 0.2-0.5): दांव का आकार 25-50% तक कम करें
• उच्च सहसंबंध (ρ > 0.5): दांव का आकार 50%+ कम करें या एक ही खेल से कई दांव लगाने से बचें

सहसंबद्ध केली सट्टेबाजी का सटीक गणित जटिल है और इस लेख के दायरे से बाहर है, लेकिन सिद्धांत स्पष्ट है: सहसंबंध जोखिम को बढ़ाता है, जिसके लिए छोटे दांव लगाने की आवश्यकता होती है।

सामान्य बैंकरोल प्रबंधन गलतियाँ

1. जीत के बाद बहुत अधिक दांव लगाना

"मैंने अभी-अभी लगातार तीन बार जीत हासिल की है, मुझे अपना दांव बढ़ाने दीजिए!"

समस्या: यह केली सिद्धांतों का उल्लंघन करता है। आपको दांव का आकार तभी बढ़ाना चाहिए जब आपका बैंकरोल बढ़े, न कि इसलिए कि आप लगातार अच्छा प्रदर्शन कर रहे हैं। तीन जीतें भाग्य से हो सकती हैं, कौशल की पुष्टि से नहीं।

2. हार के बाद बहुत कम दांव लगाना

"मैं लगातार पांच मैच हार गया, जब तक मैं ठीक नहीं हो जाता, मुझे छोटी-छोटी बाजी लगानी चाहिए।"

समस्या: अगर आपकी बढ़त असली है, तो हारने का सिलसिला तब होता है जब आपको सही केली बेटिंग बनाए रखनी चाहिए। हारने के सिलसिले के कारण केली से नीचे बेट का आकार कम करने से आपकी अपेक्षित वृद्धि प्रभावित होती है। (हालांकि, मनोवैज्ञानिक आराम के लिए आंशिक केली तक बेट कम करना स्वीकार्य है।)

3. डरे हुए पैसे का उपयोग करना

"मैं प्रति प्रॉप 10 डॉलर का दांव लगाऊंगा क्योंकि मैं अपने बैंकरोल को लेकर चिंतित हूं।"

समस्या: अगर आप सही मात्रा में दांव लगाने से डरते हैं, तो आपका बैंकरोल बहुत छोटा है या आपके पास वास्तव में कोई बढ़त नहीं है। या तो बैंकरोल बढ़ाएँ या दांव न लगाएँ।

4. पोर्टफोलियो प्रभावों की अनदेखी

"मैं एक साथ 10 अलग-अलग प्रॉप्स पर 5% केली का दांव लगाऊंगा।"

समस्या: आप वास्तव में √10 ≈ 3.16 गुना जोखिम उठा रहे हैं जो आप सोच रहे हैं। आपकी संयुक्त स्थिति एक ही दांव पर 15.8% केली दांव लगाने जैसी है—बहुत ज़्यादा आक्रामक।

5. कभी पुनर्गणना न करें

"मैंने 1,000 डॉलर से शुरुआत की और हमेशा प्रति प्रॉप 50 डॉलर का दांव लगाया।"

समस्या: अगर आपका बैंकरोल $500 तक गिर जाता है, तो $50 (मौजूदा बैंकरोल का 10%) दांव लगाना लापरवाही होगी। अगर यह $2,000 तक बढ़ जाता है, तो $50 (2.5%) दांव लगाना बहुत ज़्यादा रूढ़िवादी होगा। बैंकरोल में बदलाव के साथ दांव का आकार बदलते रहें।

6. बढ़त का अधिक आकलन

"मुझे इस शर्त को जीतने की 60% संभावना है, इसलिए मैं बड़ा दांव लगाऊंगा।"

समस्या: जैसा कि अनुच्छेद 2 में चर्चा की गई है, संभाव्यता अनुमानों में अनिश्चितता होती है। जब आप वास्तव में 53% हैं, तब भी "निश्चित" होना कि आप 60% हैं, बड़े पैमाने पर ओवर-बेटिंग की ओर ले जाता है। रूढ़िवादी अनुमानों और आंशिक केली का प्रयोग करें।