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समान-खेल पार्लेज़: सहसंबंध का गणित
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परिचय
खिलाड़ी प्रॉप्स का गणित - अनुच्छेद 4/5
श्रृंखला नेविगेशन:
- लेख 1: पंक्तियों के पीछे के गणित को समझना
- अनुच्छेद 2: खिलाड़ी प्रोप सट्टेबाजी में अपेक्षित मूल्य
- अनुच्छेद 3: प्रॉप्स के लिए विचरण और बैंकरोल प्रबंधन
- अनुच्छेद 4: समान-खेल परलेज़: सहसंबंध का गणित (आप यहां हैं)
- अनुच्छेद 5: खिलाड़ी प्रॉप विश्लेषण में सामान्य भ्रांतियाँ
सहसंबंध पार्ले मूल्य निर्धारण को कैसे प्रभावित करता है और एसजीपी में उच्च हाउस एज क्यों होते हैं
परिचय
अस्वीकरण: यह लेख केवल शैक्षिक उद्देश्यों के लिए है और सट्टेबाजी की सलाह नहीं है। मैं सट्टेबाजी की रणनीति के रूप में समान-खेल परले का समर्थन या अनुशंसा नहीं करता। मेरा उद्देश्य उनके मूल्य निर्धारण के पीछे के गणितीय सिद्धांतों को समझना है।
खेल जुए में सेम-गेम पार्लेज़ (SGPs) सबसे लोकप्रिय सट्टेबाजी उत्पादों में से एक बन गए हैं। पारंपरिक पार्लेज़ के विपरीत, जहाँ आप विभिन्न खेलों के दांवों को मिलाते हैं, SGPs आपको एक ही खेल के कई दांवों को एक दांव में मिलाने की सुविधा देते हैं।
मूलभूत गणितीय चुनौती: एक ही खेल के परिणाम स्वतंत्र नहीं होते। अगर कोई टीम स्प्रेड को कवर करती है, तो उसके कुल अंकों में ओवर हिट करने की संभावना ज़्यादा होती है। अगर कोई क्वार्टरबैक 300 गज से ज़्यादा थ्रो करता है, तो उसकी टीम के जीतने की संभावना ज़्यादा होती है। ये सहसंबंध पार्लेज़ की कीमत तय करने के तरीके को मौलिक रूप से बदल देते हैं।
यह लेख स्पोर्ट्सबुक्स द्वारा SGPs की कीमत तय करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले गणित की व्याख्या करता है, जिसमें सहसंबंध मैट्रिक्स, गॉसियन कोपुला विधियाँ और अनुभवजन्य आवृत्ति समायोजन शामिल हैं। हम अनुच्छेद 1 (संभावनाओं को संभावनाओं में बदलना) और अनुच्छेद 2 (अपेक्षित मूल्य गणना) में प्रस्तुत अवधारणाओं पर आधारित हैं।
पारंपरिक पार्ले गणित (स्वतंत्र घटनाएँ)
स्वतंत्र घटनाओं वाले पारंपरिक पार्ले के लिए, गणित सीधा है। यदि आपके पास अलग-अलग प्रायिकताओं p ₁, p ₂, ..., p ₙ वाले n दांव हैं, तो सभी दांवों के जीतने की प्रायिकता, बस अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणनफल होती है:
यह सूत्र स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता के मूलभूत नियम पर आधारित है। दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र होती हैं यदि यह जानने पर कि A घटित हुई है, यह जानकारी नहीं मिलती कि B घटित हुई है या नहीं (औपचारिक रूप से: P(A ∩ B) = P(A) × P(B))।
उदाहरण: पारंपरिक 3-लेग पार्ले
मान लीजिए कि आप अलग-अलग खेलों से तीन दांव लगाते हैं (स्वतंत्रता सुनिश्चित करते हुए):
- टीम ए स्प्रेड -110 (अंतर्निहित संभावना ≈ 52.4%)
- टीम बी स्प्रेड -110 (अंतर्निहित संभावना ≈ 52.4%)
- टीम सी स्प्रेड -110 (निहित संभावना ≈ 52.4%)
निहित संभावना पर ध्यान दें: हम अनुच्छेद 1 के सूत्र का उपयोग करके अमेरिकी बाधाओं को संभावना में बदलते हैं। -110 बाधाओं के लिए:
संयुक्त संभावना (स्वतंत्रता मानते हुए):
उचित बाधाओं की गणना: यदि वास्तविक संभावना 14.4% है, तो उचित भुगतान बाधाओं की गणना इस प्रकार की जाती है:
उचित अमेरिकी ऑड्स ≈ +594
वास्तविक भुगतान: अधिकांश स्पोर्ट्सबुक मानक -110 ऑड्स पर 3-लेग पार्ले के लिए लगभग 6-से-1 (+600) का भुगतान करते हैं।
स्पोर्ट्सबुक को बढ़त उचित ऑड्स से थोड़ा कम भुगतान करने से मिलती है। इस मामले में:
हाउस एज = (14.4% - 14.3%) / 14.4% ≈ 0.7%
यह मामूली हाउस एज पारंपरिक पार्लेज़ के लिए विशिष्ट है। हालाँकि, यह गणना स्वतंत्रता को गंभीरता से मानती है—कि प्रत्येक परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता है।समान-खेल परलेज़ के लिए, यह धारणा पूरी तरह से टूट जाती है।
समान-खेल पार्लेज़ में सहसंबंध समस्या
जब सभी दांव एक ही खेल से आते हैं, तो स्वतंत्रता का उल्लंघन होता है। इस सामान्य SGP संरचना पर विचार करें:
- टीम A की जीत (-140, निहित संभावना ≈ 58.3%)
- टीम ए के क्वार्टरबैक द्वारा 275.5 गज से अधिक दूरी तक गेंद फेंकना (-110, निहित संभावना ≈ 52.4%)
- खेल का कुल स्कोर 48.5 अंक से अधिक (-110, निहित संभावना ≈ 52.4%)
ये परिणाम सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं:
- यदि टीम A जीतती है, तो उनके क्वार्टरबैक ने संभवतः अच्छा प्रदर्शन किया होगा → लेग 1 और 2 के बीच सकारात्मक सहसंबंध
- यदि क्वार्टरबैक ने 275+ गज तक गेंद फेंकी, तो खेल में संभवतः अधिक स्कोरिंग हुई → लेग 2 और 3 के बीच सकारात्मक सहसंबंध
- यदि टीम ए जीतती है, विशेष रूप से आरामदायक अंतर से, तो कुल योग उम्मीदों से अधिक होने की संभावना है → लेग 1 और 3 के बीच सकारात्मक सहसंबंध
स्वतंत्रता सूत्र का उपयोग करने से तीनों के एक साथ हिट होने की वास्तविक संभावना को बहुत कम करके आंका जाएगा।
गणितीय ढांचा
मान लीजिए X₁, X₂, X₃ द्विआधारी यादृच्छिक चर हैं (1 = जीत, 0 = हार) जो पार्ले के प्रत्येक चरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। हमें गणना करनी होगी:
स्वतंत्रता के अंतर्गत:
सहसंबंध के साथ:
वास्तविक प्रायिकता (X₁, X₂, X₃) के संयुक्त प्रायिकता वितरण पर निर्भर करती है, जो यह दर्शाता है कि परिणाम एक साथ कैसे चलते हैं। हम सीमांत प्रायिकताओं को केवल गुणा नहीं कर सकते; हमें निर्भरता संरचना को ध्यान में रखना होगा।
इस पार्ले का उचित मूल्य निर्धारण करने के लिए, स्पोर्ट्सबुक्स को सहसंबंध को ध्यान में रखते हुए, P(X₁=1, X₂=1, X₃=1) का सीधा अनुमान लगाना होगा। इस लेख का शेष भाग उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों की पड़ताल करता है।
सहसंबंध मैट्रिक्स: निर्भरता मापना
स्पोर्ट्सबुक ऐतिहासिक आंकड़ों का उपयोग करके सहसंबंध का अनुमान लगाते हैं। दांव के प्रकारों के प्रत्येक जोड़े (टीम की जीत और टीम के कुल योग, क्वार्टरबैक यार्ड और खेल के कुल योग, आदि) के लिए, वे हजारों पिछले खेलों से अनुभवजन्य सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं।
पियर्सन सहसंबंध गुणांक
दो बाइनरी परिणामों X और Y (जीत के लिए 1, हार के लिए 0 के रूप में कोडित) के लिए, पियर्सन सहसंबंध गुणांक है:
अंश मापता है कि संयुक्त प्रायिकता, स्वतंत्रता द्वारा की गई भविष्यवाणी से कितनी भिन्न है। हर इस अंतर को सामान्यीकृत करके -1 और +1 के बीच का मान देता है।
व्याख्या:
- ρ = +1: पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध (दोनों हमेशा एक साथ होते हैं)
- ρ = 0: कोई सहसंबंध नहीं (स्वतंत्र घटनाएँ)
- ρ = -1: पूर्ण नकारात्मक सहसंबंध (जब एक घटित होता है, तो दूसरा कभी नहीं घटित होता)
- विशिष्ट खेल सट्टेबाजी सीमा: ρ -0.4 और +0.6 के बीच
उदाहरण सहसंबंध मैट्रिक्स
एनएफएल खेलों के ऐतिहासिक आंकड़ों से प्राप्त एक काल्पनिक सहसंबंध मैट्रिक्स यहाँ दिया गया है। ये मान उदाहरणात्मक हैं, लेकिन स्पोर्ट्सबुक द्वारा देखे जाने वाले सहसंबंधों का प्रतिनिधित्व करते हैं:
| टीम जीत | क्यूबी O275 गज | कुल ओवर | |
|---|---|---|---|
| टीम जीत | 1.00 | 0.35 | 0.28 |
| क्यूबी O275 गज | 0.35 | 1.00 | 0.42 |
| कुल ओवर | 0.28 | 0.42 | 1.00 |
यह मैट्रिक्स मध्यम सकारात्मक सहसंबंध दर्शाता है। सबसे मज़बूत सहसंबंध (0.42) क्वार्टरबैक द्वारा 275+ गज फेंकने और खेल के कुल योग के बीच है—यह सहज ज्ञान युक्त है, क्योंकि उच्च पासिंग यार्डेज आमतौर पर उच्च स्कोरिंग खेल का संकेत देता है।
टीम की जीत उनके क्वार्टरबैक के प्रदर्शन (0.35) और खेल के जीतने (0.28) दोनों के साथ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध है, हालाँकि ये सहसंबद्धताएँ कमज़ोर हैं। यह संरचना विशिष्ट है: सहसंबद्धताएँ मौजूद हैं, लेकिन किसी भी दिशा में शायद ही कभी चरम पर होती हैं।
महत्वपूर्ण नोट: सहसंबंध मैट्रिक्स खेल के संदर्भ (पसंदीदा बनाम अंडरडॉग, घरेलू बनाम बाहरी, उच्च-कुल बनाम कम-कुल खेल, आदि) के आधार पर काफ़ी भिन्न होते हैं। परिष्कृत स्पोर्ट्सबुक अलग-अलग खेल स्थितियों के लिए अलग-अलग मैट्रिक्स बनाए रखते हैं।
एसजीपी के मूल्य निर्धारण के लिए गॉसियन कोपुला विधि
स्पोर्ट्सबुक्स द्वारा इस्तेमाल किया जाने वाला एक परिष्कृत तरीका गॉसियन कोपुला है, जो प्रत्येक व्यक्तिगत दांव की सीमांत संभावनाओं को बनाए रखते हुए संयुक्त संभावनाओं का मॉडल तैयार करता है। यह विधि सीमांत व्यवहार (प्रत्येक दांव व्यक्तिगत रूप से कितनी बार जीतता है) को निर्भरता संरचना (दांव एक साथ कैसे चलते हैं) से अलग करती है।
कार्यप्रणाली
- सामान्य चर में रूपांतरण: व्युत्क्रम सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) का उपयोग करके प्रत्येक बाइनरी परिणाम को एक अव्यक्त सतत सामान्य चर में परिवर्तित करें:Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)
जहाँ Φ⁻¹ व्युत्क्रम मानक सामान्य CDF है और p₁, p₂, p₃ सीमांत संभावनाएँ हैं।
- सहसंबंध संरचना लागू करें: सहसंबंध मैट्रिक्स R के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के रूप में (Z₁, Z₂, Z₃) मॉडल करें:(Z₁, Z₂, Z₃) ~ MVN(0, R)
जहाँ R में सहसंबंध मैट्रिक्स से युग्मवार सहसंबंध गुणांक शामिल हैं।
- संयुक्त संभावना की गणना करें: सभी तीन दांवों के जीतने की संभावना है:P(सभी जीत) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)
जहाँ c₁, c₂, c₃ प्रत्येक दांव के न जीतने के अनुरूप महत्वपूर्ण मान हैं (अर्थात, cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ))।
बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण पर इस समाकल की गणना आमतौर पर मोंटे कार्लो सिमुलेशन या संख्यात्मक एकीकरण विधियों का उपयोग करके की जाती है।
कार्य उदाहरण
ऊपर दिखाए गए सहसंबंध मैट्रिक्स के साथ पहले से तीन-लेग पार्ले का उपयोग करना:
- P(टीम A जीतती है) = 0.583
- P(क्यूबी 275 गज से अधिक) = 0.524
- P(48.5 से अधिक कुल) = 0.524
स्वतंत्रता के अंतर्गत:
सहसंबंध के साथ (उपरोक्त मैट्रिक्स के साथ गॉसियन कोपुला का उपयोग करके):
स्वतंत्रता की धारणा की तुलना में, सहसंबंध संयुक्त संभावना को लगभग 33% बढ़ा देता है। यह महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि है: सकारात्मक सहसंबंध, पार्ले के हिट होने की संभावना को स्वतंत्रता की अपेक्षा अधिक बढ़ा देता है, जिसका अर्थ है कि स्पोर्ट्सबुक को पारंपरिक पार्ले की तुलना में कम ऑड्स (कम भुगतान) प्रदान करना चाहिए।
यदि पुस्तक पारंपरिक 3-लेग पार्ले ऑड्स (लगभग +600) का भुगतान करती है, जब वास्तविक संभावना 21.2% है, तो वे पेशकश करेंगे:
यह स्पोर्ट्सबुक के लिए विनाशकारी होगा। (अपेक्षित मूल्य गणना की समीक्षा के लिए, अनुच्छेद 2 देखें।) इसके बजाय, वे +350 की पेशकश कर सकते हैं, जो देता है:
अब सट्टेबाज को 4.6% हाउस एज का सामना करना पड़ेगा, जो एकल दांव के समान है।
अनुभवजन्य आवृत्ति विधि
एक सरल, अधिक प्रत्यक्ष तरीका यह है कि ऐतिहासिक डेटा में विशिष्ट दांव संयोजनों की संख्या की गणना की जाए। इस पद्धति में सहसंबंध के स्वरूप के बारे में किसी धारणा की आवश्यकता नहीं होती (गॉसियन कोपुला के विपरीत) और केवल प्रेक्षित आवृत्तियों का उपयोग किया जाता है।
प्रक्रिया
- तुलनीय ऐतिहासिक खेलों की पहचान करें: वर्तमान परिदृश्य से मेल खाते सभी पिछले खेलों को खोजें (समान अंक प्रसार, समान योग, समान टीम ताकत)
- परिणाम रिकॉर्ड करें: प्रत्येक ऐतिहासिक खेल के लिए, रिकॉर्ड करें कि क्या प्रत्येक दांव चरण जीत गया होगा
- संयुक्त आवृत्ति की गणना करें: गणना करें कि सभी पैर कितनी बार एक साथ टकराते हैं
- नमूना आकार के लिए समायोजन: सीमित डेटा को ध्यान में रखते हुए सांख्यिकीय समायोजन (जैसे विश्वास अंतराल) लागू करें
- हाउस एज जोड़ें: आवृत्ति को वांछित लाभ मार्जिन के साथ ऑड्स में परिवर्तित करें
उदाहरण गणना
500 ऐतिहासिक एनएफएल खेलों में से, जहां एक टीम को 3-7 अंकों से लाभ मिला था और खेल का कुल योग 45-51 अंकों के बीच था:
| नतीजा | आवृत्ति | संभावना |
|---|---|---|
| पसंदीदा जीतता है | 290 | 58.0% |
| 275 गज से अधिक पसंदीदा क्यूबी | 255 | 51.0% |
| कुल योग से अधिक | 265 | 53.0% |
| तीनों ने एक साथ मारा | 102 | 20.4% |
स्वतंत्रता से तुलना:
देखी गई आवृत्ति: 20.4%
सहसंबंध समायोजन: 20.4% / 15.7% = 1.30 (सहसंबंध के कारण 30% वृद्धि)
यह अनुभवजन्य दृष्टिकोण गॉसियन कोपुला की भविष्यवाणी की पुष्टि करता है: सहसंबंध संयुक्त संभावना को काफी हद तक बढ़ा देता है। स्पोर्ट्सबुक अपनी ऑड्स निर्धारित करने के लिए इस 20.4% आंकड़े (संभवतः वर्तमान खेल की बारीकियों के अनुसार समायोजन के साथ) का उपयोग करता है।
अनुभवजन्य विधि के लाभ:
- किसी वितरण संबंधी धारणा की आवश्यकता नहीं
- वास्तविक दुनिया के सहसंबंधों को ठीक उसी तरह कैप्चर करता है जैसे वे घटित होते हैं
- पर्याप्त ऐतिहासिक डेटा के साथ कार्यान्वयन में आसान
नुकसान:
- प्रत्येक विशिष्ट संयोजन के लिए बड़े डेटासेट की आवश्यकता होती है
- नए संयोजनों के लिए अच्छी तरह से सामान्यीकरण नहीं करता है
- दुर्लभ प्रकार के दांव या असामान्य खेल संदर्भों के लिए शोर हो सकता है
अधिकांश परिष्कृत स्पोर्ट्सबुक्स हाइब्रिड दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं: अनुभवजन्य आवृत्तियाँ जहाँ डेटा प्रचुर मात्रा में होता है, अंतराल को भरने और सुचारू अनुमान लगाने के लिए गॉसियन कोपुला या अन्य मॉडल।
स्पोर्ट्सबुक्स एसजीपी ऑड्स की गणना कैसे करते हैं: पूरी प्रक्रिया
यहां एक स्पोर्ट्सबुक द्वारा समान-गेम पार्ले का मूल्य निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला संपूर्ण वर्कफ़्लो दिया गया है:
चरण 1: सीमांत संभावनाओं का अनुमान लगाएं
प्रत्येक लेग के लिए, वास्तविक संभावना (विगोरिश से पहले) निर्धारित करें। स्पोर्ट्सबुक्स इन्हें अपने पूर्वानुमान मॉडल और मार्केट-मेकिंग एल्गोरिदम से प्राप्त करते हैं:
- टीम ए की जीत: 56% सच्ची संभावना → -130 पर प्रस्तावित (विग के साथ 56.5% निहित)
- 275 गज से अधिक की क्यूबी: 48% वास्तविक संभावना → -110 पर प्रस्तावित (विग के साथ 52.4% निहित)
- कुल 48.5 से अधिक: 52% सच्ची संभावना → -110 पर प्रस्तावित (विग के साथ 52.4% निहित)
चरण 2: सहसंबंध समायोजन लागू करें
कोपुला विधियों या अनुभवजन्य आवृत्तियों (या दोनों) का उपयोग करके, वास्तविक संयुक्त प्रायिकता की गणना करें। इस उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि उनके विश्लेषण से प्राप्त होता है:
स्वतंत्रता धारणा से तुलना करें:
सहसंबंध गुणक: 18.9% / 14.0% = 1.35
इस मामले में सहसंबंध संयुक्त संभावना को 35% तक बढ़ा देता है।
चरण 3: विगोरिश जोड़ें
वांछित हाउस एज के साथ प्रस्तावित बाधाओं में वास्तविक संभावना को परिवर्तित करें:
पुस्तक प्रस्ताव: +350 (अंतर्निहित संभावना = 22.2%)
हाउस एज = (0.222 - 0.189) / 0.222 = 14.9%
यह 14.9% हाउस एज, किसी एक दांव पर मिलने वाले सामान्य 4-5% एज से काफ़ी ज़्यादा है। यही एक वजह है कि स्पोर्ट्सबुक्स SGP को बढ़ावा देने के लिए उत्सुक रहते हैं।
चरण 4: मानक पार्ले भुगतानों तक राउंड करें
कई स्पोर्ट्सबुक परिचालन सरलता और बेहतर उपयोगकर्ता अनुभव के लिए मानक पार्ले वृद्धि (+300, +350, +400, +450, +500, आदि) के अनुसार राउंड करते हैं। यह राउंडिंग प्रभावी हाउस एज को थोड़ा बढ़ा या घटा सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि राउंडिंग किस दिशा में जाती है।
इस मामले में, +350 पहले से ही एक मानक वृद्धि है, इसलिए किसी अतिरिक्त पूर्णांकन की आवश्यकता नहीं है।
चरण 5: गतिशील समायोजन
परिष्कृत पुस्तकें भी निम्नलिखित के आधार पर वास्तविक समय समायोजन करती हैं:
- कार्रवाई असंतुलन: यदि बहुत अधिक सट्टेबाज एक विशिष्ट संयोजन ले रहे हैं, तो बाधाएं और भी कम हो सकती हैं
- तीव्र धन संकेतक: यदि ज्ञात तीव्र दांव लगाने वाले कुछ एसजीपी से बच रहे हैं, तो पुस्तक अधिक कार्रवाई को आकर्षित करने के लिए थोड़ा बेहतर ऑड्स की पेशकश कर सकती है
- सहसंबंध अनिश्चितता: असामान्य संयोजनों के लिए जहां सहसंबंध का अनुमान लगाना कठिन होता है, पुस्तकें अक्सर सुरक्षा के लिए अतिरिक्त मार्जिन जोड़ देती हैं
स्पोर्ट्सबुक्स को समान-गेम पार्लेज़ क्यों पसंद हैं?
स्पोर्ट्सबुक के नज़रिए से, एसजीपी बेहद लाभदायक उत्पाद हैं। एक दांव पर आमतौर पर हाउस एज 4-5% होता है; एसजीपी पर, यह आमतौर पर 15-25% या उससे ज़्यादा तक पहुँच जाता है। इसमें कई कारक योगदान करते हैं:
1. सहसंबंध अस्पष्टता
सट्टेबाज सहसंबद्ध घटनाओं की वास्तविक संभावनाओं की गणना आसानी से नहीं कर पाते। यहाँ तक कि अनुभवी सट्टेबाजों को भी बड़े ऐतिहासिक डेटासेट और सांख्यिकीय मॉडलिंग उपकरणों तक पहुँच के बिना संघर्ष करना पड़ता है। सूचना की यह विषमता, ग्राहकों के प्रतिरोध के बिना, सट्टेबाजों को बड़े अंतर बनाने की अनुमति देती है।
2. मनोरंजन मूल्य निर्धारण
खिलाड़ी एसजीपी के रोमांच और "कहानी" के लिए बदतर बाधाओं को स्वीकार करते हैं।एक छोटे से दांव से बड़ी रकम मिलने की संभावना मनोरंजन का मूल्य पैदा करती है, जिसके लिए दांव लगाने वाले लॉटरी टिकट की तरह स्वेच्छा से भुगतान करते हैं।
3. जटिल गणित
यहाँ तक कि वैचारिक रूप से सहसंबंध को समझने वाले कुशल सट्टेबाजों के पास भी अक्सर एसजीपी का सटीक मूल्य निर्धारण करने के लिए उपकरणों का अभाव होता है। गणितीय जटिलता (गॉसियन कोपुला, विभिन्न खेल संदर्भों में अनुभवजन्य आवृत्ति समायोजन) गलत मूल्य वाले एसजीपी की पहचान करने में एक स्वाभाविक बाधा उत्पन्न करती है।
4. चयन पूर्वाग्रह
सट्टेबाज स्वाभाविक रूप से अत्यधिक सहसंबद्ध संयोजनों का चयन करते हैं, यह जाने बिना कि बुक ने पहले ही सहसंबंध का मूल्यांकन कर लिया है। उदाहरण: एक सट्टेबाज सोचता है, "अगर टीम बड़ी जीत हासिल करती है, तो क्वार्टरबैक का खेल ज़रूर शानदार रहा होगा!" और वह टीम की जीत + क्वार्टरबैक ओवर यार्ड्स + गेम ओवर टोटल के आधार पर एक एसजीपी बनाता है। लेकिन स्पोर्ट्सबुक ने इस सटीक सहसंबंध संरचना को ध्यान में रखते हुए भुगतान पहले ही कम कर दिया है।
विडंबना यह है कि जो दांव सबसे ज़्यादा "समझदार" लगते हैं (उच्च सहसंबंध, सभी दांव एक-दूसरे का समर्थन करते हैं), वे वही दांव होते हैं जिनमें सबसे ज़्यादा मूल्य निर्धारण जानकारी और सबसे ज़्यादा बढ़त होती है। यह एक प्रकार का पुष्टिकरण पूर्वाग्रह है, जिसकी चर्चा हम अनुच्छेद 5 में विस्तार से करेंगे।
5. दुर्लभ मूल्य अवसर
पारंपरिक सट्टेबाज़ी बाज़ारों के विपरीत, जहाँ ऑनलाइन शॉपिंग और तेज़ पैसे से दक्षता आती है, एसजीपी बाज़ार कम कुशल होते हैं। सट्टेबाज़ों में नए संयोजनों का गलत मूल्यांकन होने या नई जानकारी के साथ धीरे-धीरे समायोजन करने की संभावना ज़्यादा होती है। हालाँकि, बेस हाउस एज इतना ऊँचा होता है कि "गलत मूल्यांकन" वाला एसजीपी मिलने पर भी अक्सर आपको नकारात्मक अपेक्षित मूल्य ही मिलता है।
केस स्टडी: नकारात्मक सहसंबंध
सभी SGP सहसंबंध सकारात्मक नहीं होते। नकारात्मक सहसंबंध को समझने से यह समझने में मदद मिलती है कि कुछ दांव संयोजन आश्चर्यजनक रूप से अच्छे भुगतान क्यों प्रदान करते हैं। इस SGP पर विचार करें:
- टीम ए की जीत (वे मध्यम पसंदीदा हैं)
- टीम बी के स्टार रनिंग बैक ने 95.5 से अधिक रन बनाए
ये परिणाम नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं: यदि टीम बी का रनिंग बैक 95+ गज की दूरी तक दौड़ता है, तो टीम बी ने संभवतः मैदान पर खेल को नियंत्रित किया है, जिससे टीम ए की जीत की संभावना कम हो जाती है।
मूल्य निर्धारण पर प्रभाव
| परिदृश्य | व्यक्तिगत संभावनाएँ | संयुक्त संभावना |
|---|---|---|
| स्वतंत्रता धारणा | 55% × 45% | 24.8% |
| नकारात्मक सहसंबंध के साथ (ρ = -0.30) | समान सीमांत | 19.2% |
विश्लेषण: नकारात्मक सहसंबंध संयुक्त संभावना को 24.8% से घटाकर 19.2% कर देता है। इसका मतलब है कि स्पोर्ट्सबुक अपनी वांछित बढ़त बनाए रखते हुए, स्वतंत्रता गणना की तुलना में अधिक भुगतान की पेशकश कर सकता है।
उदाहरण बाधाएं:
सामान्य SGP मूल्य: +450
हाउस एज: (0.182 - 0.192) / 0.182 = -5.5% (वास्तव में दांव लगाने वाले के लिए अनुकूल!)
इससे एक अवसर पैदा होता दिख रहा है! हालाँकि, कुछ सावधानियाँ भी हैं:
- दुर्लभ संयोजन: सट्टेबाज शायद ही कभी नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध एसजीपी का निर्माण करते हैं क्योंकि वे "गलत महसूस करते हैं" (दोनों पक्षों का समर्थन करते हुए)
- मूल्य समायोजन: स्मार्ट स्पोर्ट्सबुक नकारात्मक सहसंबंध को पहचानते हैं और हमेशा आनुपातिक रूप से उच्च भुगतान की पेशकश नहीं करते हैं
- मनोवैज्ञानिक कारक: नकारात्मक सहसंबंध वाले एसजीपी को गणितीय रूप से उचित होने पर भी दांव लगाने में असहजता महसूस होती है
- क्रिया असंतुलन: पुस्तकें इन्हें आक्रामक रूप से समायोजित कर सकती हैं क्योंकि उनमें बहुत कम प्राकृतिक क्रिया होती है
सबक: अगर आपको एसजीपी पर दांव लगाना ही है, तो मूल्य के लिहाज से नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध संयोजन सबसे दिलचस्प होते हैं। हालाँकि, ज़्यादातर आकस्मिक सट्टेबाज़ इनसे पूरी तरह बचते हैं, और तेज़ सट्टेबाज़ आमतौर पर एसजीपी से पूरी तरह बचते हैं।
सट्टेबाजों के लिए व्यावहारिक निहितार्थ
एसजीपी के गणित को समझने से कई व्यावहारिक निष्कर्ष निकलते हैं:
1. एसजीपी आमतौर पर कम मूल्य के होते हैं
एसजीपी पर हाउस एज आमतौर पर एकल दांवों की तुलना में 3-5 गुना ज़्यादा होता है। जब तक आपके पास यह मानने का कोई ठोस कारण न हो कि किसी विशिष्ट एसजीपी का मूल्य गलत है, तब तक बेहतर होगा कि आप व्यक्तिगत दांव लगाएँ या पार्ले से पूरी तरह बचें।
2. अत्यधिक सहसंबद्ध संयोजनों से बचें
जो संयोजन सबसे "स्मार्ट" लगते हैं (टीम जीत + क्वार्टरबैक ओवर + गेम ओवर), वही हैं जहाँ स्पोर्ट्सबुक्स के पास सबसे ज़्यादा डेटा और सबसे अच्छे मूल्य निर्धारण मॉडल होते हैं। आपको यहाँ मूल्य मिलने की संभावना कम ही है।
3. नकारात्मक सहसंबंध पर विचार करें
अगर आपको एसजीपी पर दांव लगाना ही है, तो नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध संयोजनों पर ध्यान दें, जहाँ बुक अनुपातहीन रूप से ज़्यादा भुगतान दे सकती है। ये विरोधाभासी लग सकते हैं, लेकिन बेहतर गणितीय मूल्य प्रदान कर सकते हैं।
4. नमूना आकार आवश्यकताएँ
अपने स्वयं के सहसंबंध अनुमान बनाने के लिए, आपको सैकड़ों या हज़ारों प्रासंगिक ऐतिहासिक खेलों की आवश्यकता होगी। अधिकांश सट्टेबाजों के लिए, यह अव्यावहारिक है। ध्यान रखें कि स्पोर्ट्सबुक में अत्यधिक बेहतर डेटा और मॉडलिंग क्षमताएँ होती हैं।
5. वैकल्पिक रणनीति: एकल दांव
अगर आपको लगता है कि टीम A जीतेगी और उनका क्वार्टरबैक यार्ड से ज़्यादा यार्ड्स लेगा और गेम टोटल से ज़्यादा होगा, तो आपके पास तीन पॉजिटिव EV बेट्स हैं (आपकी राय में)। जब आप 4-5% एज वाले तीन अलग-अलग बेट्स लगा सकते हैं, तो उन्हें 15-25% हाउस एज वाले SGP में क्यों मिलाएँ? (हम आर्टिकल 3 में मल्टीपल बेट्स के लिए इष्टतम साइज़िंग पर चर्चा करते हैं।)
प्रति दांव अपेक्षित मूल्य = (0.52 × $9.09) − (0.48 × $10) ≈ $4.73 − $4.80 = −$0.07
कुल EV ≈ 3 × (−$0.07) = −$0.22 (दांव पर लगे $30 का लगभग −0.7%)
एक $10 एसजीपी +350 पर 22.2% निहित / 18.9% सच्ची संभावना के साथ:
अपेक्षित मूल्य = (0.189 × $35) − (0.811 × $10) = $6.62 − $8.11 = −$1.49 ≈ −15% हिस्सेदारी
एसजीपी में आपको तीन अलग-अलग दांवों की तुलना में लगभग 7 गुना ज़्यादा अपेक्षित मूल्य चुकाना पड़ता है, भले ही दोनों रणनीतियों में प्रति संयोजन $10 का जोखिम समान हो। यह मानकर चला जाता है कि आपके संभाव्यता अनुमान सही हैं, जो हमें अपेक्षित मूल्य गणनाओं पर अनुच्छेद 2 पर वापस लाता है।
निष्कर्ष
खेल सट्टेबाजी के मूल्य निर्धारण में समान-खेल पार्लेज़ एक महत्वपूर्ण गणितीय चुनौती का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस विश्लेषण से प्राप्त प्रमुख निष्कर्ष:
- सहसंबंध वास्तविक और ठोस है: एक ही खेल के परिणाम अक्सर 30-50% या उससे अधिक तक सहसंबद्ध होते हैं, जो स्वतंत्रता की उस धारणा का उल्लंघन करता है जो पारंपरिक पार्ले को सुगम बनाती है।
- स्पोर्ट्सबुक्स परिष्कृत तरीकों का उपयोग करते हैं: गॉसियन कोपुला, अनुभवजन्य आवृत्ति तालिकाएं, और सहसंबंध मैट्रिसेस, पुस्तकों को हजारों दांव संयोजनों में उचित सटीकता के साथ एसजीपी की कीमत निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।
- बहुत अधिक हाउस एज: सहसंबंध जटिलता, सूचना विषमता और मनोरंजन मूल्य निर्धारण के कारण, एसजीपी में आमतौर पर 15-25% हाउस एज होती है, जबकि एकल दांव के लिए यह 4-5% होती है।
- सट्टेबाजों का नुकसान संरचनात्मक है: सहसंबंध मैट्रिक्स या बड़े ऐतिहासिक डेटासेट तक पहुँच के बिना, सट्टेबाजों को गलत मूल्य वाले एसजीपी की पहचान करने में कठिनाई होती है। गणितीय बढ़त पूरी तरह से घर के पास है।
- नकारात्मक सहसंबंध दिलचस्प है: पैरों के बीच नकारात्मक सहसंबंध वाले दुर्लभ एसजीपी बेहतर सापेक्ष मूल्य प्रदान कर सकते हैं, लेकिन फिर भी आम तौर पर महत्वपूर्ण हाउस एज रखते हैं।
सकारात्मक अपेक्षित मूल्य चाहने वाले एडवांटेज जुआरियों के लिए, सबक स्पष्ट है: समान-गेम पार्लेज़ से आम तौर पर बचना चाहिए। मूल्य की पहचान करने के लिए आवश्यक गणितीय परिष्कार अधिकांश सट्टेबाजों (तेज दांव लगाने वालों सहित) की वास्तविक क्षमता से कहीं अधिक है, जबकि बेसलाइन हाउस एज निषेधात्मक रूप से उच्च है।
अगर आपको मनोरंजन के लिए एसजीपी पसंद हैं, तो उन्हें मनोरंजन के किसी भी अन्य खर्च की तरह ही समझें। लेकिन अगर आपका लक्ष्य न्यूनतम हाउस एज के साथ गणितीय रूप से सही दांव लगाना है, तो अच्छी तरह से शोध किए गए एकल दांवों पर ही टिके रहें, जहाँ आप वास्तविक संभावनाओं का अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं।
हमारे अगले लेख (अनुच्छेद 5) में, हम खिलाड़ी प्रॉप विश्लेषण में आम भ्रांतियों का पता लगाएँगे, जिनमें जुआरी की भ्रांति, हॉट हैंड भ्रांति, और माध्य के प्रतिगमन की गणितीय वास्तविकताएँ शामिल हैं। इन संज्ञानात्मक पूर्वाग्रहों को समझने से आपको प्रॉप सट्टेबाजी में होने वाली महंगी गलतियों से बचने में मदद मिलेगी।
श्रृंखला नेविगेशन
खिलाड़ी प्रॉप्स का गणित - अनुच्छेद 4/5
- लेख 1: पंक्तियों के पीछे के गणित को समझना
- अनुच्छेद 2: खिलाड़ी प्रोप सट्टेबाजी में अपेक्षित मूल्य
- अनुच्छेद 3: प्रॉप्स के लिए विचरण और बैंकरोल प्रबंधन
- अनुच्छेद 4: समान-खेल परलेज़: सहसंबंध का गणित (वर्तमान लेख)
- अनुच्छेद 5: खिलाड़ी प्रॉप विश्लेषण में सामान्य भ्रांतियाँ
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