क्रेप्स में प्रति थ्रो औसत दांव का समाधान

परिचय

मान लीजिए कि आप एक इलेक्ट्रॉनिक क्रेप्स मशीन के ज़रिए न्यूनतम लागत और भिन्नता के साथ ढेर सारा पैसा कमाना चाहते हैं। ऐसी मशीनें केवल हल किए गए दांवों पर ही अंक अर्जित करती हैं। यह पृष्ठ पक्ष, लिए गए ऑड्स और अधिकतम प्राप्त अंकों के आधार पर प्रति थ्रो प्लेइंग लाइन दांव पर हल किए गए औसत दांव की जाँच करता है।

ऑड्स बेट्स के निम्नलिखित गुणकों पर विचार किया जाता है। याद रखें कि ऑड्स लगाते समय, आप अनुमत गुणकों के आधार पर जीत के परिणाम के अनुसार दांव लगा सकते हैं।

• 0X: कोई ऑड्स बेट नहीं लिया जाता। यह तब उपयुक्त हो सकता है जब ऑड्स बेट से अंक न मिलें।
• 1X: यदि कोई अंक स्थापित हो जाता है, तो ऑड्स बेट पास या कम बेट के बराबर होती है। डोंट पास या डोंट कम के बाद, खिलाड़ी 4 या 10 पर 2x, 5 या 9 पर 1.5x, और 5 या 6 पर 1.2x बेट लगाता है।
• 2X: यदि कोई अंक स्थापित हो जाता है, तो ऑड्स बेट पास या कम बेट के 2x के बराबर होती है। डोंट पास या डोंट कम बेट के बाद, खिलाड़ी 4 या 10 पर 4x, 5 या 9 पर 3x, और 5 या 6 पर 2.4x बेट लगाता है।
• 3X-4X-5X: पास या कम बेट पर, 4 या 10 के बाद ऑड्स बेट 3x के बराबर, 5 या 9 के बाद 4x के बराबर, तथा 6 या 8 के बाद 5x के बराबर होता है। डोंट पास या डोंट कम के बाद खिलाड़ी किसी भी बिंदु के बाद 6x लगाता है।

खेल में इन रणनीतियों पर विचार किया जाता है:

• खिलाड़ी केवल एक ही अंक निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, खिलाड़ी कभी भी "पास न करें" या "न करें" जैसे दांव नहीं लगाता।
• खिलाड़ी केवल दो अंक निर्धारित करता है। यह एक पास/पास न होने की शर्त और एक आने/न आने की शर्त होगी।
• खिलाड़ी केवल दो अंक निर्धारित करता है। यह एक पास/न-पास दांव और दो आओ/न-आओ दांव होगा। इसे आमतौर पर "थ्री पॉइंट मौली" कहा जाता है।
• खिलाड़ी अधिकतम अंक निर्धारित करता है। यह हर रोल पर एक लाइन बेट लगाकर पूरा होता है।

निम्नलिखित तालिका में, खिलाड़ी द्वारा ऑड्स बेट नहीं लगाने पर प्रति रोल हल किए गए औसत बेट्स को दर्शाया गया है, जो कि बेट किए गए अधिकतम अंकों के अनुसार है।

निम्नलिखित तालिका में, खिलाड़ी द्वारा ऑड्स* पर लाइन बेट का 1X दांव लगाने पर प्रति रोल हल किए गए औसत दांवों को दर्शाया गया है, जो दांव पर लगाए गए अधिकतम अंकों के अनुसार है।

निम्नलिखित तालिका में, खिलाड़ी द्वारा ऑड्स* पर लाइन बेट का 2X दांव लगाने पर प्रति रोल हल किए गए औसत दांवों को दर्शाया गया है, जो दांव पर लगाए गए अधिकतम अंकों के अनुसार है।

निम्नलिखित तालिका में, खिलाड़ी द्वारा ऑड्स* पर लाइन बेट के 3-4-5 गुना दांव लगाने पर प्रति रोल हल किए गए औसत दांवों को दर्शाया गया है, जो दांव लगाए गए अधिकतम अंकों के अनुसार है।

पाद लेख:
*: क्रेप्स में, डोंट पास या डोंट कम बेट के बाद खिलाड़ी द्वारा लगाई जा सकने वाली अधिकतम ऑड्स जीत के सापेक्ष होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि 2X ऑड्स की अनुमति है, तो खिलाड़ी 4 या 10 पर 4x, 5 या 9 पर 3x, और 6 या 8 पर 2.4x ऑड्स लगा सकता है। ध्यान दें कि जीत डोंट पास या डोंट कम बेट के 2x के बराबर होती है।

उदाहरण

मान लीजिए कि कोई खिलाड़ी इलेक्ट्रॉनिक क्रेप्स गेम में $100,000 तक दांव लगाना चाहता है। मशीन सभी दांवों (ऑड्स सहित) की गिनती करती है, लेकिन केवल तभी जब कोई दांव पूरा हो जाए। खिलाड़ी $25 लाइन दांव लगाता है, उन्हें 2x ऑड्स के साथ समर्थित करता है, और थ्री पॉइंट मोली (अधिकतम तीन लाइन दांव) को 'नहीं' पक्ष में खेलता है।

2X तालिका हमें दिखाती है कि प्रति रोल औसत हल की गई इकाइयाँ 1.599641 हैं। इसलिए, खिलाड़ी को अपना लक्ष्य पूरा करने के लिए औसतन 100,000/25*1.599641 = 2,501 दांव लगाने होंगे।

क्रियाविधि

एक लाइन बेट को हल करने के लिए रोल की औसत संख्या कितनी होती है? हमेशा एक कम आउट रोल होता है।

4 या 10 आने की संभावना 6/36=1/6 है। 4 या 10 आने के बाद, 9 बार रोल करने पर यह समस्या हल हो जाएगी, जिसकी संभावना 9/36 = 1/4 है। ऐसा होने के लिए अपेक्षित रोल 4 हैं।

5 या 9 आने की संभावना 8/36 = 2/9 है। 5 या 9 आने के बाद, 10 बार रोल करने पर यह समस्या हल हो जाएगी, जिसकी संभावना 10/36 = 5/18 है। ऐसा होने की अपेक्षित संभावना 18/5 = 3.6 रोल है।

10/36=5/18 संभावना है कि रोल आउट 6 या 8 हो। 6 या 8 आने के बाद, 11 रोल करने पर यह समस्या हल हो जाएगी, जिसकी प्रायिकता 11/36 है। ऐसा होने की अपेक्षित संख्या 36/11 = 3.272727... रोल है।

इन सबको जोड़ते हुए, एक लाइन बेट को हल करने के लिए अपेक्षित रोल 1 + (1/6) * 4 + (2/9) * 3.6 + (5/18) * (36/11) = 557/165 = ~ 3.375758 रोल हैं।

आइये सबसे पहले 0X ऑड्स के मामले को देखें।

एक बिंदु के लिए, हमने दिखाया है कि एक पास बेट को हल करने में औसतन 557/165 रोल लगते हैं। इस प्रकार, प्रति थ्रो हल किए गए अपेक्षित बेट्स इसका व्युत्क्रम है, 165/557 =~ 0.296230।

दो पॉइंट्स के लिए, ध्यान दें कि खिलाड़ी कितनी बार टेबल पर दो दांव लगाएगा। वह 7 के बाद कम-आउट रोल को स्वीकार करेगा। औसतन, एक पॉइंट बनाने के लिए 3/2 रोल और फिर 7 रोल करने के लिए 6 रोल लगते हैं, यानी सात आउट के बीच कुल 7.5 रोल। इनमें से 1.5/7.5 = 80% कम-आउट रोल होते हैं। इसलिए, एक पॉइंट वाले खिलाड़ी की तुलना में दांव 80% बढ़ जाते हैं। इस प्रकार, औसत दांव 1.8 * 165/557 = 0.533214 है।

तीन अंकों के लिए, विचार करें कि खिलाड़ी के पास टेबल पर कितनी बार तीन दांव होंगे। वह एक आउट रोल के बाद अपवाद करेगा जब दो अलग-अलग बिंदु रोल किए जाते हैं। ऐसा कितनी बार होता है? मान लीजिए कि बिंदु 4 या 10 है। अगले रोल पर एक और बिंदु स्थापित करने की संभावना (24-3) / (36-6-3) 21/27 है। यदि बिंदु 5 या 9 है, तो वह संभावना 20/26 है। यदि बिंदु 6 या 8 है, तो वह संभावना 19/25 है। एक और बिंदु रोल करने की संभावना का भारित औसत (6/24) * (21/27) + (8/24) * (20/26) + (10/24) * (19/25) = ~ 0.767521 है। हमने पहले ही 80% समय स्थापित किया है कि खिलाड़ी के पास टेबल पर केवल एक ही दांव होगा। खिलाड़ी द्वारा तीसरे अंक के लिए दांव लगाने के समय का अनुपात 0.8 * 0.767521 = 0.614017 है। इसलिए, प्रत्येक थ्रो पर अपेक्षित कुल दांव, खिलाड़ी द्वारा केवल एक अंक बनाने की तुलना में 0.8 + 0.614017 अधिक है। यह 0.296230 * (1+0.8+0.614017) = 0.715104 है।

अधिकतम अंक, या प्रत्येक रोल पर एक दांव के लिए, उत्तर बस प्रति रोल एक इकाई दांव का औसत है।

1x ऑड्स वाले मामले में, ध्यान दें कि 2/3 बार खिलाड़ी एक पॉइंट बनाएगा और इस तरह ऑड्स पर दांव लगाएगा। इस प्रकार, प्रत्येक कम आउट रोल पर औसत अंतिम दांव 1 + (2/3) = 5/3 होगा। प्रत्येक कम आउट रोल पर 3.375758 औसत रोल के आधार पर, प्रति रोल औसत दांव (5/3)/3.375758 = 0.493716 होगा। दो पॉइंट बनाने के लिए, इस संख्या को 1.8 से गुणा करें, ठीक वैसे ही जैसे 0x ऑड्स के मामले में होता है: 0.493716*1.8 = 0.888689। तीन पॉइंट बनाने के लिए, एक बेट के लिए इस संख्या को 1+0.8+0.614017 = 2.414017 से गुणा करें, ठीक उसी तरह जैसे 0x ऑड्स के लिए होता है, जो 2.414017*0.493716 = 1.191840 है। अधिकतम अंकों के लिए, प्रति रोल औसत दांव 1+(2/3)*1 = 5/3 होगा।

2x ऑड्स वाले मामले में, ध्यान दें कि प्रति पास लाइन बेट पर औसत दांव 1+(2/3)*2 = 7/3 है। इस प्रकार, प्रति रोल औसत दांव (7/3)/3.375758 = 0.691203 है। 2 और 3 पॉइंट्स के लिए, इसे 0x और 1x ऑड्स के लिए दिखाए गए समान 1.8 और 2.414017 कारकों से गुणा करें। अधिकतम पॉइंट्स के लिए, प्रति रोल औसत दांव 1+(2/3)*2 = 7/3 होगा।

तर्क वही है, ऑड्स लगाना। हर रोल पर पास न होने पर औसत दांव 0.296230 पर पास के समान ही है। 1x ऑड्स के लिए, औसत दांव 1+(6/36)*2 + (8/36)*1.5 + (10/36)*1.2 = 2 है। इस प्रकार, हर रोल पर औसत दांव 2/3.375758 = 0.592460 है। 2x ऑड्स के लिए, औसत दांव 1+(6/36)*4 + (8/36)*3 + (10/36)*2.4 = 3 है। इस प्रकार, हर रोल पर औसत दांव 3/3.375758 = 0.888689 है। 3x-4x-5x ऑड्स के लिए, औसत दांव 1+(2/3)*6=5 है। इस प्रकार प्रति रोल औसत दांव 5/3.375758 = 1.481149 है।दो और तीन अंक से अधिक के दांव के लिए, समान 1.8 और 2.414017 कारकों से गुणा करें।

अधिकतम अंक निर्धारित करने के लिए, प्रति रोल औसत दांव 0x ऑड्स के साथ 1 है। 1x ऑड्स के लिए यह 1+(6/36)*2 + (8/36)*1.5 + (10/36)*1.2 = 2 है। 2x ऑड्स के लिए यह 1+(6/36)*4 + (8/36)*3 + (10/36)*2.4 = 3 है। 3x-4x-5x ऑड्स के लिए यह 1+(2/3)*6 = 5 है।

पावती

मैं इस पृष्ठ पर गणित में मदद के लिए Ace2 का धन्यवाद करना चाहूँगा। वह Wizard of Vegas के मेरे फ़ोरम में इस पर चर्चा करता है।

द्वारा लिखित: Michael Shackleford